Algèbre Exemples

$f (x) = 2 \cdot \cos (\frac{8}{3} x)$

Étape 1

Utilisez la forme $a \cos (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = 2$

$b = \frac{8}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $2$

Étape 3

Déterminez la période de $2 \cos (\frac{8 x}{3})$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez $b$ par $\frac{8}{3}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{8}{3} |}$

Étape 3.3

$\frac{8}{3}$ est d’environ $2.\overline{6}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{8}{3}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{3}{8}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{8}$

Étape 3.5.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 (π) \frac{3}{2 (4)}$

Étape 3.5.3

Annulez le facteur commun.

$2 π \frac{3}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5.4

Réécrivez l’expression.

$π \frac{3}{4}$

Étape 3.6

Associez $π$ et $\frac{3}{4}$ .

$\frac{π \cdot 3}{4}$

Étape 3.7

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{0}{\frac{8}{3}}$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $0 (\frac{3}{8})$

Étape 4.4

Multipliez $0$ par $\frac{3}{8}$ .

Déphasage : $0$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $2$

Période : $\frac{3 π}{4}$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = 0$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 2 \cos (\frac{8 (0)}{3})$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $8 (0)$ .

$f (0) = 2 \cos (\frac{3 (8 \cdot (0))}{3})$

Étape 6.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (0) = 2 \cos (\frac{3 (8 \cdot (0))}{3 (1)})$

Étape 6.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (0) = 2 \cos (\frac{3 (8 \cdot (0))}{3 \cdot 1})$

Étape 6.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (0) = 2 \cos (\frac{8 \cdot (0)}{1})$

Étape 6.1.2.1.2.4

Divisez $8 \cdot (0)$ par $1$ .

$f (0) = 2 \cos (8 \cdot (0))$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $8$ par $0$ .

$f (0) = 2 \cos (0)$

Étape 6.1.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1$

Étape 6.1.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (0) = 2$

Étape 6.1.2.5

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{16}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{16}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{8 (\frac{3 π}{16})}{3})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Associez $8$ et $\frac{3 π}{16}$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (3 π)}{16}}{3})$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $8$ par $3$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{24 π}{16}}{3})$

Étape 6.2.2.3

Réduisez l’expression $\frac{24 π}{16}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.3.1

Factorisez $8$ à partir de $24 π$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (3 π)}{16}}{3})$

Étape 6.2.2.3.2

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (3 π)}{8 (2)}}{3})$

Étape 6.2.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (3 π)}{8 \cdot 2}}{3})$

Étape 6.2.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})$

Étape 6.2.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 6.2.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 6.2.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 6.2.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cdot 0$

Étape 6.2.2.7

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = 0$

Étape 6.2.2.8

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{8}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{8}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (\frac{8 (\frac{3 π}{8})}{3})$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Associez $8$ et $\frac{3 π}{8}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (3 π)}{8}}{3})$

Étape 6.3.2.2

Multipliez $8$ par $3$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (\frac{\frac{24 π}{8}}{3})$

Étape 6.3.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.3.1

Réduisez l’expression $\frac{24 π}{8}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.3.1.1

Factorisez $8$ à partir de $24 π$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (3 π)}{8}}{3})$

Étape 6.3.2.3.1.2

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (3 π)}{8 (1)}}{3})$

Étape 6.3.2.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (3 π)}{8 \cdot 1}}{3})$

Étape 6.3.2.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (\frac{\frac{3 π}{1}}{3})$

Étape 6.3.2.3.2

Divisez $3 π$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

Étape 6.3.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

Étape 6.3.2.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (π)$

Étape 6.3.2.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (- \cos (0))$

Étape 6.3.2.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 6.3.2.7

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.3.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cdot - 1$

Étape 6.3.2.7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 2$

Étape 6.3.2.8

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{9 π}{16}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{9 π}{16}$ dans l’expression.

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{8 (\frac{9 π}{16})}{3})$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Associez $8$ et $\frac{9 π}{16}$ .

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (9 π)}{16}}{3})$

Étape 6.4.2.2

Multipliez $8$ par $9$ .

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{72 π}{16}}{3})$

Étape 6.4.2.3

Réduisez l’expression $\frac{72 π}{16}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.3.1

Factorisez $8$ à partir de $72 π$ .

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (9 π)}{16}}{3})$

Étape 6.4.2.3.2

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (9 π)}{8 (2)}}{3})$

Étape 6.4.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (9 π)}{8 \cdot 2}}{3})$

Étape 6.4.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})$

Étape 6.4.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 6.4.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.4.2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 6.4.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 6.4.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 6.4.2.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 6.4.2.7

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cdot 0$

Étape 6.4.2.8

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (\frac{9 π}{16}) = 0$

Étape 6.4.2.9

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{8 (\frac{3 π}{4})}{3})$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.5.2.1

Associez $8$ et $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (3 π)}{4}}{3})$

Étape 6.5.2.2

Multipliez $8$ par $3$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{\frac{24 π}{4}}{3})$

Étape 6.5.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.3.1

Réduisez l’expression $\frac{24 π}{4}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $24 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{\frac{4 (6 π)}{4}}{3})$

Étape 6.5.2.3.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{\frac{4 (6 π)}{4 (1)}}{3})$

Étape 6.5.2.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{\frac{4 (6 π)}{4 \cdot 1}}{3})$

Étape 6.5.2.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{\frac{6 π}{1}}{3})$

Étape 6.5.2.3.2

Divisez $6 π$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{6 π}{3})$

Étape 6.5.2.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 6.5.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3})$

Étape 6.5.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})$

Étape 6.5.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})$

Étape 6.5.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{2 π}{1})$

Étape 6.5.2.4.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (2 π)$

Étape 6.5.2.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (0)$

Étape 6.5.2.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cdot 1$

Étape 6.5.2.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2$

Étape 6.5.2.8

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{3 π}{16} & 0 \\ \frac{3 π}{8} & - 2 \\ \frac{9 π}{16} & 0 \\ \frac{3 π}{4} & 2 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $2$

Période : $\frac{3 π}{4}$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{3 π}{16} & 0 \\ \frac{3 π}{8} & - 2 \\ \frac{9 π}{16} & 0 \\ \frac{3 π}{4} & 2 \end{array}$

Étape 8