Algèbre Exemples

$9 x^{4} - 2 x^{2} - 7 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$9 {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 7 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$9 u^{2} - 2 u - 7 = 0$

Étape 1.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot - 7 = - 63$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 u$ .

$9 u^{2} - 2 u - 7 = 0$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $7$ plus $- 9$

$9 u^{2} + (7 - 9) u - 7 = 0$

Étape 1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 u^{2} + 7 u - 9 u - 7 = 0$

Étape 1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(9 u^{2} + 7 u) - 9 u - 7 = 0$

Étape 1.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (9 u + 7) - (9 u + 7) = 0$

Étape 1.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 u + 7$ .

$(9 u + 7) (u - 1) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(9 x^{2} + 7) (x^{2} - 1) = 0$

Étape 1.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(9 x^{2} + 7) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 1.6

Factorisez.

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Étape 1.6.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(9 x^{2} + 7) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 1.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(9 x^{2} + 7) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$9 x^{2} + 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $9 x^{2} + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $9 x^{2} + 7$ égal à $0$ .

$9 x^{2} + 7 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $9 x^{2} + 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} = - 7$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $9 x^{2} = - 7$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x^{2} = - 7$ par $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{- 7}{9}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{- 7}{9}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{9}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{7}{9}$

Étape 3.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{7}{9}}$

Étape 3.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{7}{9}}$ .

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Étape 3.2.4.1

Réécrivez $- \frac{7}{9}$ comme ${(\frac{i}{3})}^{2} \cdot 7$ .

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Étape 3.2.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{9}}$

Étape 3.2.4.1.2

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $7$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{9}}$

Étape 3.2.4.1.3

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{3^{2} \cdot 1}}$

Étape 3.2.4.1.4

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} \cdot 7}{3^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{3})}^{2} \cdot 7)}$

Étape 3.2.4.1.5

Réécrivez $i^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}$ comme ${(\frac{i}{3})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{3})}^{2} \cdot 7}$

Étape 3.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm \frac{i}{3} \sqrt{7}$

Étape 3.2.4.3

Associez $\frac{i}{3}$ et $\sqrt{7}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{7}}{3}$

Étape 3.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{3}$

Étape 3.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{7}}{3}$

Étape 3.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{3}, - \frac{i \sqrt{7}}{3}$

Étape 4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(9 x^{2} + 7) (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{3}, - \frac{i \sqrt{7}}{3}, - 1, 1$