Algèbre Exemples

${(y^{- 2})}^{4} + \frac{y^{3}}{y^{5}}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{- 2})}^{4}$ .

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Étape 1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{- 2 \cdot 4} + \frac{y^{3}}{y^{5}}$

Étape 1.1.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$y^{- 8} + \frac{y^{3}}{y^{5}}$

Étape 1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{8}} + \frac{y^{3}}{y^{5}}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y^{5}$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{1}{y^{8}} + \frac{y^{3} \cdot 1}{y^{5}}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{5}$ .

$\frac{1}{y^{8}} + \frac{y^{3} \cdot 1}{y^{3} y^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{8}} + \frac{y^{3} \cdot 1}{y^{3} y^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{8}} + \frac{1}{y^{2}}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1}{y^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{6}}{y^{6}}$ .

$\frac{1}{y^{8}} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{6}}{y^{6}}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y^{8}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{y^{2}}$ par $\frac{y^{6}}{y^{6}}$ .

$\frac{1}{y^{8}} + \frac{y^{6}}{y^{2} y^{6}}$

Étape 3.2

Multipliez $y^{2}$ par $y^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{y^{8}} + \frac{y^{6}}{y^{2 + 6}}$

Étape 3.2.2

Additionnez $2$ et $6$ .

$\frac{1}{y^{8}} + \frac{y^{6}}{y^{8}}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + y^{6}}{y^{8}}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{1^{3} + y^{6}}{y^{8}}$

Étape 5.2

Réécrivez $y^{6}$ comme ${(y^{2})}^{3}$ .

$\frac{1^{3} + {(y^{2})}^{3}}{y^{8}}$

Étape 5.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = y^{2}$ .

$\frac{(1 + y^{2}) (1^{2} - 1 y^{2} + {(y^{2})}^{2})}{y^{8}}$

Étape 5.4

Simplifiez

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Étape 5.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(1 + y^{2}) (1 - 1 y^{2} + {(y^{2})}^{2})}{y^{8}}$

Étape 5.4.2

Réécrivez $- 1 y^{2}$ comme $- y^{2}$ .

$\frac{(1 + y^{2}) (1 - y^{2} + {(y^{2})}^{2})}{y^{8}}$

Étape 5.4.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(1 + y^{2}) (1 - y^{2} + y^{2 \cdot 2})}{y^{8}}$

Étape 5.4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(1 + y^{2}) (1 - y^{2} + y^{4})}{y^{8}}$