Algèbre Exemples

$\log (3 x) + \log (x - 4) = \log (15)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (3 x (x - 4)) = \log (15)$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4) = \log (15)$

Étape 1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1

Déplacez $x$ .

$\log (3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 4) = \log (15)$

Étape 1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x \cdot - 4) = \log (15)$

Étape 1.4

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\log (3 x^{2} - 12 x) = \log (15)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$3 x^{2} - 12 x = 15$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} - 12 x - 15 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 12 x - 15$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x - 15 = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 15 = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 15$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

Étape 3.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

Étape 3.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 5$ .

$3 (x^{2} - 4 x - 5) = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez.

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1$

Étape 3.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((x - 5) (x + 1)) = 0$

Étape 3.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 5) (x + 1) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 3.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 5) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 5, - 1$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (3 x) + \log (x - 4) = \log (15)$ vrai.

$x = 5$