Algèbre Exemples

$\frac{2}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2} + 1, x, x$

Étape 1.2

Comme $x^{2} + 1, x, x$ contiennent des nombres et des variables, quatre étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour les parties numériques, variables et variables composées. Ensuite, multipliez toutes les valeurs entre elles.

Les étapes pour déterminer le plus petit multiple commun pour $x^{2} + 1, x, x$ sont :

1. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1$ .

2. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{1}, x^{1}$ .

3. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable composée $x^{2} + 1$ .

4. Multipliez tous les plus petits multiples communs entre eux.

Étape 1.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 1.6

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 1.7

Le plus petit multiple commun de $x^{1}, x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x$

Étape 1.8

Le facteur pour $x^{2} + 1$ est $x^{2} + 1$ lui-même.

$(x^{2} + 1) = x^{2} + 1$

$(x^{2} + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.9

Le plus petit multiple commun de $x^{2} + 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x^{2} + 1$

Étape 1.10

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$x (x^{2} + 1)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$ par $x (x^{2} + 1)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$ par $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2}{x^{2} + 1} (x (x^{2} + 1)) + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2}{x^{2} + 1} ((x^{2} + 1) x) + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x^{2} + 1} ((x^{2} + 1) x) + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Étape 2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 x + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 x + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Étape 2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 x + x^{2} + 1 = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 x + x^{2} + 1 = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 x + x^{2} + 1 = 2 (x^{2} + 1)$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + x^{2} + 1 = 2 x^{2} + 2 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x + x^{2} + 1 = 2 x^{2} + 2$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x + x^{2} + 1 - 2 x^{2} = 2$

Étape 3.1.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$2 x - x^{2} + 1 = 2$

Étape 3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$2 x - x^{2} + 1 - 2 = 0$

Étape 3.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 x - x^{2} - 1 = 0$

Étape 3.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x - x^{2} - 1$ .

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Étape 3.4.1.1

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x - 1 = 0$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 = 0$

Étape 3.4.1.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 3.4.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 3.4.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (1)$ .

$- (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

Étape 3.4.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.4.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

Étape 3.4.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 3.4.2.3

Réécrivez le polynôme.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 3.4.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$- {(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $- {(x - 1)}^{2} = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $- {(x - 1)}^{2} = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- {(x - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 3.5.2.2

Divisez ${(x - 1)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 3.6

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.7

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$