Algèbre Exemples

$\frac{x + 2}{x + 1} - \frac{2 x}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x + 2}{x + 1} - \frac{2 x}{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{x + 2}{x + 1} - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x + 2}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 2}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x + 2}{x + 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 2) (x - 1) - 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(x + 2) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 1) + 2 (x - 1) - 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 2 (x - 1) - 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x^{2} - x + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 2 x - 2 - 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.2.2

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{2} + x - 2 - 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.3

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.4

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 4.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 2}{x - 1}$