Algèbre Exemples

$\frac{4 x^{2} + 7 x - 2}{3 x + 9} \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + x - 6}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{4 x^{2} + 7 x - 2}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 2 = - 8$ et dont la somme est $b = 7$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 7 (x) - 2}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $7$ comme $- 1$ plus $8$

$\frac{4 x^{2} + (- 1 + 8) x - 2}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} - 1 x + 8 x - 2}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(4 x^{2} - 1 x) + 8 x - 2}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (4 x - 1) + 2 (4 x - 1)}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x - 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 2)}{3 x + 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Étape 3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 9$ .

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Étape 3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 2)}{3 (x) + 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Étape 3.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 2)}{3 x + 3 \cdot 3} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Étape 3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot 3$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 2)}{3 (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} + x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(4 x - 1) (x + 2)}{3 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 3)}{x^{2} - 4}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 2)}{3 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 3)}{x^{2} - 2^{2}}$

Étape 5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 2)}{3 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $(4 x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) (4 x - 1)}{3 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) (4 x - 1)}{3 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x - 1}{3 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 3)}{x - 2}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $3 (x + 3)$ .

$\frac{4 x - 1}{(x + 3) \cdot 3} \cdot \frac{(x - 2) (x + 3)}{x - 2}$

Étape 6.2.2

Factorisez $x + 3$ à partir de $(x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{4 x - 1}{(x + 3) \cdot 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x - 1}{(x + 3) \cdot 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 6.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x - 1}{3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{4 x - 1}{3}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(4 x - 1) (x - 2)}{3 (x - 2)}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4 x - 1) (x - 2)}{3 (x - 2)}$

Étape 6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x - 1}{3}$