Algèbre Exemples

$\sin (2 x) = 2 \sin (x)$

Étape 1

Soustrayez $2 \sin (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 2

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 3

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 5

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 5.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $\cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = 1$

Étape 6.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.2.4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 6.2.5

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 6.2.6

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 6.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.7

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$