Algèbre Exemples

$A = \sqrt[9]{a^{4} \sqrt{b}} \cdot \sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[9]{a^{4} \sqrt{b}} \cdot \sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}} = A$ .

$\sqrt[9]{a^{4} \sqrt{b}} \cdot \sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}} = A$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $9$ .

${(\sqrt[9]{a^{4} \sqrt{b}} \cdot \sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}})}^{9} = A^{9}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[9]{a^{4} \sqrt{b}}$ comme ${(a^{4} \sqrt{b})}^{\frac{1}{9}}$ .

${({(a^{4} \sqrt{b})}^{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}})}^{9} = A^{9}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(a^{4} \sqrt{b})}^{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}})}^{9}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $a^{4} \sqrt{b}$ .

${({(a^{4})}^{\frac{1}{9}} {\sqrt{b}}^{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}})}^{9} = A^{9}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(a^{4})}^{\frac{1}{9}}$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(a^{4 (\frac{1}{9})} {\sqrt{b}}^{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}})}^{9} = A^{9}$

Étape 3.2.1.2.2

Associez $4$ et $\frac{1}{9}$ .

${(a^{\frac{4}{9}} {\sqrt{b}}^{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}})}^{9} = A^{9}$

Étape 3.2.1.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la règle de produit à $a^{\frac{4}{9}} {\sqrt{b}}^{\frac{1}{9}} \sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}}$ .

${(a^{\frac{4}{9}} {\sqrt{b}}^{\frac{1}{9}})}^{9} {\sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}}}^{9} = A^{9}$

Étape 3.2.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $a^{\frac{4}{9}} {\sqrt{b}}^{\frac{1}{9}}$ .

${(a^{\frac{4}{9}})}^{9} {({\sqrt{b}}^{\frac{1}{9}})}^{9} {\sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}}}^{9} = A^{9}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(a^{\frac{4}{9}})}^{9}$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{\frac{4}{9} \cdot 9} {({\sqrt{b}}^{\frac{1}{9}})}^{9} {\sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}}}^{9} = A^{9}$

Étape 3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$a^{\frac{4}{9} \cdot 9} {({\sqrt{b}}^{\frac{1}{9}})}^{9} {\sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}}}^{9} = A^{9}$

Étape 3.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$a^{4} {({\sqrt{b}}^{\frac{1}{9}})}^{9} {\sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}}}^{9} = A^{9}$

Étape 3.2.1.5

Multipliez les exposants dans ${({\sqrt{b}}^{\frac{1}{9}})}^{9}$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{4} {\sqrt{b}}^{\frac{1}{9} \cdot 9} {\sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}}}^{9} = A^{9}$

Étape 3.2.1.5.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.2.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$a^{4} {\sqrt{b}}^{\frac{1}{9} \cdot 9} {\sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}}}^{9} = A^{9}$

Étape 3.2.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$a^{4} {\sqrt{b}}^{1} {\sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}}}^{9} = A^{9}$

Étape 3.2.1.6

Simplifiez

$a^{4} \sqrt{b} {\sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}}}^{9} = A^{9}$

Étape 3.2.1.7

Réécrivez ${\sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}}}^{9}$ comme $b^{4} \sqrt{a}$ .

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Étape 3.2.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[9]{b^{4} \sqrt{a}}$ comme ${(b^{4} \sqrt{a})}^{\frac{1}{9}}$ .

$a^{4} \sqrt{b} {({(b^{4} \sqrt{a})}^{\frac{1}{9}})}^{9} = A^{9}$

Étape 3.2.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{4} \sqrt{b} {(b^{4} \sqrt{a})}^{\frac{1}{9} \cdot 9} = A^{9}$

Étape 3.2.1.7.3

Associez $\frac{1}{9}$ et $9$ .

$a^{4} \sqrt{b} {(b^{4} \sqrt{a})}^{\frac{9}{9}} = A^{9}$

Étape 3.2.1.7.4

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.2.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$a^{4} \sqrt{b} {(b^{4} \sqrt{a})}^{\frac{9}{9}} = A^{9}$

Étape 3.2.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$a^{4} \sqrt{b} {(b^{4} \sqrt{a})}^{1} = A^{9}$

Étape 3.2.1.7.5

Simplifiez

$a^{4} \sqrt{b} (b^{4} \sqrt{a}) = A^{9}$

Étape 3.2.1.8

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$a^{4} (b^{4} \sqrt{b a}) = A^{9}$

Étape 3.2.1.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $a^{4} (b^{4} \sqrt{b a})$ .

$a^{4} b^{4} \sqrt{b a} = A^{9}$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(a^{4} b^{4} \sqrt{b a})}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{b a}$ comme ${(b a)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(a^{4} b^{4} {(b a)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(a^{4} b^{4} {(b a)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $b a$ .

${(a^{4} b^{4} (b^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $a^{4}$ par $a^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.2.1

Déplacez $a^{\frac{1}{2}}$ .

${(a^{\frac{1}{2}} a^{4} b^{4} b^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(a^{\frac{1}{2} + 4} b^{4} b^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.2.3

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${(a^{\frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}} b^{4} b^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.2.4

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

${(a^{\frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}} b^{4} b^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(a^{\frac{1 + 4 \cdot 2}{2}} b^{4} b^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.2.6.1

Multipliez $4$ par $2$ .

${(a^{\frac{1 + 8}{2}} b^{4} b^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.2.6.2

Additionnez $1$ et $8$ .

${(a^{\frac{9}{2}} b^{4} b^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $b^{4}$ par $b^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.3.1

Déplacez $b^{\frac{1}{2}}$ .

${(a^{\frac{9}{2}} (b^{\frac{1}{2}} b^{4}))}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(a^{\frac{9}{2}} b^{\frac{1}{2} + 4})}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.3.3

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${(a^{\frac{9}{2}} b^{\frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}})}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.3.4

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

${(a^{\frac{9}{2}} b^{\frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}})}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(a^{\frac{9}{2}} b^{\frac{1 + 4 \cdot 2}{2}})}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.3.6.1

Multipliez $4$ par $2$ .

${(a^{\frac{9}{2}} b^{\frac{1 + 8}{2}})}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.3.6.2

Additionnez $1$ et $8$ .

${(a^{\frac{9}{2}} b^{\frac{9}{2}})}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $a^{\frac{9}{2}} b^{\frac{9}{2}}$ .

${(a^{\frac{9}{2}})}^{2} {(b^{\frac{9}{2}})}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.5

Multipliez les exposants dans ${(a^{\frac{9}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{\frac{9}{2} \cdot 2} {(b^{\frac{9}{2}})}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$a^{\frac{9}{2} \cdot 2} {(b^{\frac{9}{2}})}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$a^{9} {(b^{\frac{9}{2}})}^{2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez les exposants dans ${(b^{\frac{9}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{9} b^{\frac{9}{2} \cdot 2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$a^{9} b^{\frac{9}{2} \cdot 2} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.2.1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$a^{9} b^{9} = {(A^{9})}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Multipliez les exposants dans ${(A^{9})}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{9} b^{9} = A^{9 \cdot 2}$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $9$ par $2$ .

$a^{9} b^{9} = A^{18}$

Étape 6

Résolvez $a$ .

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $a^{9} b^{9} = A^{18}$ par $b^{9}$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1

Divisez chaque terme dans $a^{9} b^{9} = A^{18}$ par $b^{9}$ .

$\frac{a^{9} b^{9}}{b^{9}} = \frac{A^{18}}{b^{9}}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun de $b^{9}$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{9} b^{9}}{b^{9}} = \frac{A^{18}}{b^{9}}$

Étape 6.1.2.1.2

Divisez $a^{9}$ par $1$ .

$a^{9} = \frac{A^{18}}{b^{9}}$

Étape 6.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$a = \sqrt[9]{\frac{A^{18}}{b^{9}}}$

Étape 6.3

Simplifiez $\sqrt[9]{\frac{A^{18}}{b^{9}}}$ .

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Étape 6.3.1

Réécrivez $A^{18}$ comme ${(A^{2})}^{9}$ .

$a = \sqrt[9]{\frac{{(A^{2})}^{9}}{b^{9}}}$

Étape 6.3.2

Réécrivez $\frac{{(A^{2})}^{9}}{b^{9}}$ comme ${(\frac{A^{2}}{b})}^{9}$ .

$a = \sqrt[9]{{(\frac{A^{2}}{b})}^{9}}$

Étape 6.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$a = \frac{A^{2}}{b}$