Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 12 x + 27}{42 x - 6 x^{2}} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \div \frac{x^{2} + 8 x + 15}{100 - 4 x^{2}}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} + 12 x + 27}{42 x - 6 x^{2}} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 12 x + 27$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $27$ et dont la somme est $12$ .

$3, 9$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{42 x - 6 x^{2}} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 3

Factorisez $6 x$ à partir de $42 x - 6 x^{2}$ .

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Étape 3.1

Factorisez $6 x$ à partir de $42 x$ .

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7) - 6 x^{2}} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 3.2

Factorisez $6 x$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7) + 6 x (- x)} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 3.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (7) + 6 x (- x)$ .

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{7^{2} - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 7$ et $b = x$ .

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 5

Factorisez $x^{2} + 16 x + 63$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $63$ et dont la somme est $16$ .

$7, 9$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{(x + 7) (x + 9)} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $x + 9$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x + 9$ à partir de $(x + 3) (x + 9)$ .

$\frac{(x + 9) (x + 3)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{(x + 7) (x + 9)} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 6.1.2

Factorisez $x + 9$ à partir de $(x + 7) (x + 9)$ .

$\frac{(x + 9) (x + 3)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{(x + 9) (x + 7)} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 9) (x + 3)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{(x + 9) (x + 7)} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 3}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $7 - x$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $7 - x$ à partir de $6 x (7 - x)$ .

$\frac{x + 3}{(7 - x) (6 x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 6.2.2

Factorisez $7 - x$ à partir de $(7 + x) (7 - x)$ .

$\frac{x + 3}{(7 - x) (6 x)} \cdot \frac{(7 - x) (7 + x)}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 3}{(7 - x) (6 x)} \cdot \frac{(7 - x) (7 + x)}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 6.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{7 + x}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{x + 3}{6 x}$ par $\frac{7 + x}{x + 7}$ .

$\frac{(x + 3) (7 + x)}{6 x (x + 7)} \cdot \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun à $7 + x$ et $x + 7$ .

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Étape 6.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x + 3) (x + 7)}{6 x (x + 7)} \cdot \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 6.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3) (x + 7)}{6 x (x + 7)} \cdot \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 6.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Factorisez $4$ à partir de $100 - 4 x^{2}$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $4$ à partir de $100$ .

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (25) - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 7.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (25) + 4 (- x^{2})}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 7.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (25) + 4 (- x^{2})$ .

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (25 - x^{2})}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (5^{2} - x^{2})}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 7.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{x^{2} + 8 x + 15}$

Étape 8

Factorisez $x^{2} + 8 x + 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $8$ .

$3, 5$

Étape 8.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 9

Simplifiez les termes.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 9.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6 x} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{x + 5}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$\frac{1}{2 (3 x)} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{x + 5}$

Étape 9.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4 (5 + x) (5 - x)$ .

$\frac{1}{2 (3 x)} \cdot \frac{2 (2 (5 + x) (5 - x))}{x + 5}$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 (3 x)} \cdot \frac{2 (2 (5 + x) (5 - x))}{x + 5}$

Étape 9.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 x} \cdot \frac{2 (5 + x) (5 - x)}{x + 5}$

Étape 9.3

Multipliez $\frac{1}{3 x}$ par $\frac{2 (5 + x) (5 - x)}{x + 5}$ .

$\frac{2 (5 + x) (5 - x)}{3 x (x + 5)}$

Étape 9.4

Annulez le facteur commun à $5 + x$ et $x + 5$ .

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Étape 9.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (x + 5) (5 - x)}{3 x (x + 5)}$

Étape 9.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x + 5) (5 - x)}{3 x (x + 5)}$

Étape 9.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (5 - x)}{3 x}$