Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{2} + 2}{2 - \sqrt{2}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + 2}{2 - \sqrt{2}}$ par $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} + 2}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + 2}{2 - \sqrt{2}}$ par $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + 2) (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{2} + 2) (2 + \sqrt{2})}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{2} + 2) (2 + \sqrt{2})}{2}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{2}$

Étape 3.2

Élevez $2 + \sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1} (2 + \sqrt{2})}{2}$

Étape 3.3

Élevez $2 + \sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1} {(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1 + 1}}{2}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{2}}{2}$

Étape 4

Réécrivez ${(2 + \sqrt{2})}^{2}$ comme $(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ .

$\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{2}$

Étape 5

Développez $(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Étape 6.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Étape 6.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

Étape 6.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}$

Étape 6.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2}$

Étape 6.2

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 6.3

Additionnez $2 \sqrt{2}$ et $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $6 + 4 \sqrt{2}$ et $2$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3) + 2 (2 \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2}$

Étape 7.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}$

Étape 7.4.4

Divisez $3 + 2 \sqrt{2}$ par $1$ .

$3 + 2 \sqrt{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$3 + 2 \sqrt{2}$

Forme décimale :

$5.82842712 \dots$