Algèbre Exemples

$\frac{(x^{2} + 4 x + 4)}{x^{2} - 4} - \frac{2}{(x + 2)}$

Étape 1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 2^{2}}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2}$

Étape 1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2}$

Étape 1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{2}{x + 2}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{2}{x + 2}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à ${(x + 2)}^{2}$ et $x + 2$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x + 2$ à partir de ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{2}{x + 2}$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{2}{x + 2}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{2}{x + 2}$

Étape 4

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x - 2, x + 2$

Étape 5

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 6

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 7

Le plus petit multiple commun de $1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 8

Le facteur pour $x - 2$ est $x - 2$ lui-même.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 9

Le facteur pour $x + 2$ est $x + 2$ lui-même.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 10

Le plus petit multiple commun de $x - 2, x + 2$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x - 2) (x + 2)$