Algèbre Exemples

$\sqrt{3 t + 1} + \sqrt{5 - t} = 4$

Étape 1

Soustrayez $\sqrt{5 - t}$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3 t + 1} = 4 - \sqrt{5 - t}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 t + 1}}^{2} = {(4 - \sqrt{5 - t})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 t + 1}$ comme ${(3 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 t + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - \sqrt{5 - t})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(3 t + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 t + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 t + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - \sqrt{5 - t})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 t + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - \sqrt{5 - t})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 t + 1)}^{1} = {(4 - \sqrt{5 - t})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$3 t + 1 = {(4 - \sqrt{5 - t})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(4 - \sqrt{5 - t})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(4 - \sqrt{5 - t})}^{2}$ comme $(4 - \sqrt{5 - t}) (4 - \sqrt{5 - t})$ .

$3 t + 1 = (4 - \sqrt{5 - t}) (4 - \sqrt{5 - t})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(4 - \sqrt{5 - t}) (4 - \sqrt{5 - t})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 t + 1 = 4 (4 - \sqrt{5 - t}) - \sqrt{5 - t} (4 - \sqrt{5 - t})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 t + 1 = 4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{5 - t}) - \sqrt{5 - t} (4 - \sqrt{5 - t})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 t + 1 = 4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{5 - t}) - \sqrt{5 - t} \cdot 4 - \sqrt{5 - t} (- \sqrt{5 - t})$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$3 t + 1 = 16 + 4 (- \sqrt{5 - t}) - \sqrt{5 - t} \cdot 4 - \sqrt{5 - t} (- \sqrt{5 - t})$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - \sqrt{5 - t} \cdot 4 - \sqrt{5 - t} (- \sqrt{5 - t})$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} - \sqrt{5 - t} (- \sqrt{5 - t})$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $- \sqrt{5 - t} (- \sqrt{5 - t})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + 1 \sqrt{5 - t} \sqrt{5 - t}$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{5 - t}$ par $1$ .

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + \sqrt{5 - t} \sqrt{5 - t}$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{5 - t}$ à la puissance $1$ .

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + {\sqrt{5 - t}}^{1} \sqrt{5 - t}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4

Élevez $\sqrt{5 - t}$ à la puissance $1$ .

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + {\sqrt{5 - t}}^{1} {\sqrt{5 - t}}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + {\sqrt{5 - t}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + {\sqrt{5 - t}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{5 - t}}^{2}$ comme $5 - t$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 - t}$ comme ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + {({(5 - t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + {(5 - t)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + {(5 - t)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + {(5 - t)}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.5.5

Simplifiez

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + 5 - t$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $16$ et $5$ .

$3 t + 1 = 21 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} - t$

Étape 3.3.1.3.3

Soustrayez $4 \sqrt{5 - t}$ de $- 4 \sqrt{5 - t}$ .

$3 t + 1 = 21 - 8 \sqrt{5 - t} - t$

Étape 4

Résolvez $- 8 \sqrt{5 - t}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $21 - 8 \sqrt{5 - t} - t = 3 t + 1$ .

$21 - 8 \sqrt{5 - t} - t = 3 t + 1$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- 8 \sqrt{5 - t}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $21$ des deux côtés de l’équation.

$- 8 \sqrt{5 - t} - t = 3 t + 1 - 21$

Étape 4.2.2

Ajoutez $t$ aux deux côtés de l’équation.

$- 8 \sqrt{5 - t} = 3 t + 1 - 21 + t$

Étape 4.2.3

Additionnez $3 t$ et $t$ .

$- 8 \sqrt{5 - t} = 4 t + 1 - 21$

Étape 4.2.4

Soustrayez $21$ de $1$ .

$- 8 \sqrt{5 - t} = 4 t - 20$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 8 \sqrt{5 - t})}^{2} = {(4 t - 20)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 - t}$ comme ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 8 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 t - 20)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(- 8 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 8 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 8)}^{2} {({(5 - t)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 t - 20)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$64 {({(5 - t)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 t - 20)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(5 - t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 {(5 - t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 t - 20)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$64 {(5 - t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 t - 20)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$64 {(5 - t)}^{1} = {(4 t - 20)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

$64 (5 - t) = {(4 t - 20)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$64 \cdot 5 + 64 (- t) = {(4 t - 20)}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez.

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Étape 6.2.1.6.1

Multipliez $64$ par $5$ .

$320 + 64 (- t) = {(4 t - 20)}^{2}$

Étape 6.2.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$320 - 64 t = {(4 t - 20)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(4 t - 20)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(4 t - 20)}^{2}$ comme $(4 t - 20) (4 t - 20)$ .

$320 - 64 t = (4 t - 20) (4 t - 20)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(4 t - 20) (4 t - 20)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$320 - 64 t = 4 t (4 t - 20) - 20 (4 t - 20)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$320 - 64 t = 4 t (4 t) + 4 t \cdot - 20 - 20 (4 t - 20)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$320 - 64 t = 4 t (4 t) + 4 t \cdot - 20 - 20 (4 t) - 20 \cdot - 20$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$320 - 64 t = 4 \cdot 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 20 - 20 (4 t) - 20 \cdot - 20$

Étape 6.3.1.3.1.2

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.3.1.2.1

Déplacez $t$ .

$320 - 64 t = 4 \cdot 4 (t \cdot t) + 4 t \cdot - 20 - 20 (4 t) - 20 \cdot - 20$

Étape 6.3.1.3.1.2.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$320 - 64 t = 4 \cdot 4 t^{2} + 4 t \cdot - 20 - 20 (4 t) - 20 \cdot - 20$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$320 - 64 t = 16 t^{2} + 4 t \cdot - 20 - 20 (4 t) - 20 \cdot - 20$

Étape 6.3.1.3.1.4

Multipliez $- 20$ par $4$ .

$320 - 64 t = 16 t^{2} - 80 t - 20 (4 t) - 20 \cdot - 20$

Étape 6.3.1.3.1.5

Multipliez $4$ par $- 20$ .

$320 - 64 t = 16 t^{2} - 80 t - 80 t - 20 \cdot - 20$

Étape 6.3.1.3.1.6

Multipliez $- 20$ par $- 20$ .

$320 - 64 t = 16 t^{2} - 80 t - 80 t + 400$

Étape 6.3.1.3.2

Soustrayez $80 t$ de $- 80 t$ .

$320 - 64 t = 16 t^{2} - 160 t + 400$

Étape 7

Résolvez $t$ .

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Étape 7.1

Comme $t$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$16 t^{2} - 160 t + 400 = 320 - 64 t$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $t$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Ajoutez $64 t$ aux deux côtés de l’équation.

$16 t^{2} - 160 t + 400 + 64 t = 320$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 160 t$ et $64 t$ .

$16 t^{2} - 96 t + 400 = 320$

Étape 7.3

Soustrayez $320$ des deux côtés de l’équation.

$16 t^{2} - 96 t + 400 - 320 = 0$

Étape 7.4

Soustrayez $320$ de $400$ .

$16 t^{2} - 96 t + 80 = 0$

Étape 7.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.5.1

Factorisez $16$ à partir de $16 t^{2} - 96 t + 80$ .

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Étape 7.5.1.1

Factorisez $16$ à partir de $16 t^{2}$ .

$16 (t^{2}) - 96 t + 80 = 0$

Étape 7.5.1.2

Factorisez $16$ à partir de $- 96 t$ .

$16 (t^{2}) + 16 (- 6 t) + 80 = 0$

Étape 7.5.1.3

Factorisez $16$ à partir de $80$ .

$16 t^{2} + 16 (- 6 t) + 16 \cdot 5 = 0$

Étape 7.5.1.4

Factorisez $16$ à partir de $16 t^{2} + 16 (- 6 t)$ .

$16 (t^{2} - 6 t) + 16 \cdot 5 = 0$

Étape 7.5.1.5

Factorisez $16$ à partir de $16 (t^{2} - 6 t) + 16 \cdot 5$ .

$16 (t^{2} - 6 t + 5) = 0$

Étape 7.5.2

Factorisez.

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Étape 7.5.2.1

Factorisez $t^{2} - 6 t + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.5.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 5, - 1$

Étape 7.5.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$16 ((t - 5) (t - 1)) = 0$

Étape 7.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$16 (t - 5) (t - 1) = 0$

Étape 7.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t - 5 = 0$

$t - 1 = 0$

Étape 7.7

Définissez $t - 5$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 7.7.1

Définissez $t - 5$ égal à $0$ .

$t - 5 = 0$

Étape 7.7.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$t = 5$

Étape 7.8

Définissez $t - 1$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 7.8.1

Définissez $t - 1$ égal à $0$ .

$t - 1 = 0$

Étape 7.8.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$t = 1$

Étape 7.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $16 (t - 5) (t - 1) = 0$ vraie.

$t = 5, 1$