Algèbre Exemples

$x^{2} - 5 y x + 4 y^{2} = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 5 y$ et $c = 4 y^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{5 y \pm \sqrt{{(- 5 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (4 y^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot 4 y^{2}$ comme ${(2 \cdot 1 \cdot 2 y)}^{2}$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{{(- 5 y)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 5 y$ et $b = 2 \cdot 1 \cdot 2 y$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{(- 5 y + 2 \cdot 1 \cdot (2 y)) (- 5 y - (2 \cdot 1 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3

Simplifiez

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Étape 3.1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- 5 y + 2 \cdot 1 \cdot 2 y$ .

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Étape 3.1.3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- 5 y$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{(y \cdot - 5 + 2 \cdot 1 \cdot (2 y)) (- 5 y - (2 \cdot 1 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.1.2

Factorisez $y$ à partir de $2 \cdot 1 \cdot 2 y$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{(y \cdot - 5 + y (2 \cdot 1 \cdot 2)) (- 5 y - (2 \cdot 1 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot - 5 + y (2 \cdot 1 \cdot 2)$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{y (- 5 + 2 \cdot 1 \cdot 2) (- 5 y - (2 \cdot 1 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $2 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 3.1.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{y (- 5 + 2 \cdot 2) (- 5 y - (2 \cdot 1 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{y (- 5 + 4) (- 5 y - (2 \cdot 1 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.3

Additionnez $- 5$ et $4$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{y \cdot (- 1 (- 5 y - (2 \cdot 1 \cdot (2 y))))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.4

Associez les exposants.

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Étape 3.1.3.4.1

Factorisez le signe négatif.

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{- (y (- 5 y - (2 \cdot 1 \cdot (2 y))))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{- (y (- 5 y - (2 \cdot (2 y))))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{- (y (- 5 y - (4 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.4.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{- (y (- 5 y - 4 y))}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{- y (- 5 y - 4 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4

Soustrayez $4 y$ de $- 5 y$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{- y \cdot (- 9 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5

Associez les exposants.

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{9 y \cdot y}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{9 (y \cdot y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{9 (y \cdot y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{9 y^{1 + 1}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{9 y^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6

Réécrivez $9 y^{2}$ comme ${(3 y)}^{2}$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{{(3 y)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{5 y \pm 3 y}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{5 y \pm 3 y}{2}$

Étape 4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 4 y$

$x = y$