Algèbre Exemples

$\sqrt[7]{\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}}} = 5$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $7$ .

${\sqrt[7]{\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}}}}^{7} = 5^{7}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}}}$ comme ${(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7}}$ .

${({(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 5^{7}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 5^{7}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 5^{7}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{1} = 5^{7}$

Étape 2.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $16$ .

${(\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{1} = 5^{7}$

Étape 2.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

${(\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25})}^{1} = 5^{7}$

Étape 2.2.1.4

Simplifiez

$\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25} = 5^{7}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Élevez $5$ à la puissance $7$ .

$\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25} = 78125$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés par $5^{x} + 25$ .

$\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25} (5^{x} + 25) = 78125 (5^{x} + 25)$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $5^{x} + 25$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25} (5^{x} + 25) = 78125 (5^{x} + 25)$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$152587890625 + 5^{x} = 78125 (5^{x} + 25)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $78125 (5^{x} + 25)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$152587890625 + 5^{x} = 78125 \cdot 5^{x} + 78125 \cdot 25$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $78125 \cdot 5^{x}$ .

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Étape 3.2.2.1.2.1

Réécrivez $78125$ comme $5^{7}$ .

$152587890625 + 5^{x} = 5^{7} \cdot 5^{x} + 78125 \cdot 25$

Étape 3.2.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$152587890625 + 5^{x} = 5^{7 + x} + 78125 \cdot 25$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $78125$ par $25$ .

$152587890625 + 5^{x} = 5^{7 + x} + 1953125$

Étape 3.2.2.1.4

Remettez dans l’ordre $7$ et $x$ .

$152587890625 + 5^{x} = 5^{x + 7} + 1953125$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $5^{x}$ à partir de l’expression.

$5^{x} (1 - 78125)$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $152587890625$ des deux côtés de l’équation.

$5^{x} = 5^{x + 7} + 1953125 - 152587890625$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $152587890625$ de $1953125$ .

$5^{x} = 5^{x + 7} - 152585937500$

Étape 3.3.3

Soustrayez $5^{x + 7}$ des deux côtés de l’équation.

$5^{x} - 5^{x + 7} = - 152585937500$

Étape 3.3.4

Soustrayez $78125$ de $1$ .

$5^{x} \cdot - 78124 = - 152585937500$

Étape 3.3.5

Déplacez $- 78124$ à gauche de $5^{x}$ .

$- 78124 \cdot 5^{x} = - 152585937500$

Étape 3.3.6

Divisez chaque terme dans $- 78124 \cdot 5^{x} = - 152585937500$ par $- 78124$ et simplifiez.

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Étape 3.3.6.1

Divisez chaque terme dans $- 78124 \cdot 5^{x} = - 152585937500$ par $- 78124$ .

$\frac{- 78124 \cdot 5^{x}}{- 78124} = \frac{- 152585937500}{- 78124}$

Étape 3.3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $- 78124$ .

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Étape 3.3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 78124 \cdot 5^{x}}{- 78124} = \frac{- 152585937500}{- 78124}$

Étape 3.3.6.2.1.2

Divisez $5^{x}$ par $1$ .

$5^{x} = \frac{- 152585937500}{- 78124}$

Étape 3.3.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.6.3.1

Divisez $- 152585937500$ par $- 78124$ .

$5^{x} = 1953125$

Étape 3.3.7

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$5^{x} = 5^{9}$

Étape 3.3.8

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 9$