Algèbre Exemples

$(x^{2} + x - 1) (3 x^{2} + 6 x + 6)$

Étape 1

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$a x^{2} + b x + c$

Étape 2

Développez $(x^{2} + x - 1) (3 x^{2} + 6 x + 6)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot 6 + x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 6 - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x^{2} x^{2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot 6 + x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 6 - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot 6 + x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 6 - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{2 + 2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot 6 + x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 6 - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$3 x^{4} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot 6 + x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 6 - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x^{4} + 6 x^{2} x + x^{2} \cdot 6 + x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 6 - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$3 x^{4} + 6 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 6 + x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 6 - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{4} + 6 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 6 + x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 6 - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{4} + 6 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 6 + x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 6 - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2} \cdot 6 + x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 6 - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.5

Déplacez $6$ à gauche de $x^{2}$ .

$3 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot x^{2} + x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 6 - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 6 - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.7

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$3 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} + 3 (x^{2} x) + x (6 x) + x \cdot 6 - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.1.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} + 3 (x^{2} x^{1}) + x (6 x) + x \cdot 6 - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{2 + 1} + x (6 x) + x \cdot 6 - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{3} + x (6 x) + x \cdot 6 - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{3} + 6 x \cdot x + x \cdot 6 - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.9

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.9.1

Déplacez $x$ .

$3 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{3} + 6 (x \cdot x) + x \cdot 6 - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.9.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{3} + 6 x^{2} + x \cdot 6 - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.10

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$3 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{3} + 6 x^{2} + 6 \cdot x - 1 (3 x^{2}) - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.11

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$3 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} - 1 (6 x) - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.12

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$3 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} - 6 x - 1 \cdot 6$

Étape 3.1.13

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$3 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} - 6 x - 6$

Étape 3.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.1

Associez les termes opposés dans $3 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} - 6 x - 6$ .

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Étape 3.2.1.1

Soustrayez $6 x$ de $6 x$ .

$3 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x^{2} + 0 - 6$

Étape 3.2.1.2

Additionnez $3 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x^{2} - 6$

Étape 3.2.2

Additionnez $6 x^{3}$ et $3 x^{3}$ .

$3 x^{4} + 9 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x^{2} - 3 x^{2} - 6$

Étape 3.2.3

Additionnez $6 x^{2}$ et $6 x^{2}$ .

$3 x^{4} + 9 x^{3} + 12 x^{2} - 3 x^{2} - 6$

Étape 3.2.4

Soustrayez $3 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$3 x^{4} + 9 x^{3} + 9 x^{2} - 6$