Algèbre Exemples

$\frac{4}{5} (4 k - 1) \geq \frac{5}{4} (3 k - 2)$

Étape 1

Simplifiez $\frac{4}{5} \cdot (4 k - 1)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + \frac{4}{5} \cdot (4 k - 1) \geq \frac{5}{4} \cdot (3 k - 2)$

Étape 1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$\frac{4}{5} \cdot (4 k - 1) \geq \frac{5}{4} \cdot (3 k - 2)$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4}{5} (4 k) + \frac{4}{5} \cdot - 1 \geq \frac{5}{4} \cdot (3 k - 2)$

Étape 1.4

Multipliez $\frac{4}{5} (4 k)$ .

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Étape 1.4.1

Associez $4$ et $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{5} k + \frac{4}{5} \cdot - 1 \geq \frac{5}{4} \cdot (3 k - 2)$

Étape 1.4.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{16}{5} k + \frac{4}{5} \cdot - 1 \geq \frac{5}{4} \cdot (3 k - 2)$

Étape 1.4.3

Associez $\frac{16}{5}$ et $k$ .

$\frac{16 k}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 1 \geq \frac{5}{4} \cdot (3 k - 2)$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{4}{5} \cdot - 1$ .

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Étape 1.5.1

Associez $\frac{4}{5}$ et $- 1$ .

$\frac{16 k}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{5} \geq \frac{5}{4} \cdot (3 k - 2)$

Étape 1.5.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{16 k}{5} + \frac{- 4}{5} \geq \frac{5}{4} \cdot (3 k - 2)$

Étape 1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{16 k}{5} - \frac{4}{5} \geq \frac{5}{4} \cdot (3 k - 2)$

Étape 2

Simplifiez $\frac{5}{4} \cdot (3 k - 2)$ .

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{16 k}{5} - \frac{4}{5} \geq \frac{5}{4} (3 k) + \frac{5}{4} \cdot - 2$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{5}{4} (3 k)$ .

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Étape 2.2.1

Associez $3$ et $\frac{5}{4}$ .

$\frac{16 k}{5} - \frac{4}{5} \geq \frac{3 \cdot 5}{4} k + \frac{5}{4} \cdot - 2$

Étape 2.2.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{16 k}{5} - \frac{4}{5} \geq \frac{15}{4} k + \frac{5}{4} \cdot - 2$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{15}{4}$ et $k$ .

$\frac{16 k}{5} - \frac{4}{5} \geq \frac{15 k}{4} + \frac{5}{4} \cdot - 2$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{16 k}{5} - \frac{4}{5} \geq \frac{15 k}{4} + \frac{5}{2 (2)} \cdot - 2$

Étape 2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{16 k}{5} - \frac{4}{5} \geq \frac{15 k}{4} + \frac{5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 k}{5} - \frac{4}{5} \geq \frac{15 k}{4} + \frac{5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 2.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{16 k}{5} - \frac{4}{5} \geq \frac{15 k}{4} + \frac{5}{2} \cdot - 1$

Étape 2.4

Associez $\frac{5}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{16 k}{5} - \frac{4}{5} \geq \frac{15 k}{4} + \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{16 k}{5} - \frac{4}{5} \geq \frac{15 k}{4} + \frac{- 5}{2}$

Étape 2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{16 k}{5} - \frac{4}{5} \geq \frac{15 k}{4} - \frac{5}{2}$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $k$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 3.1

Soustrayez $\frac{15 k}{4}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{16 k}{5} - \frac{4}{5} - \frac{15 k}{4} \geq - \frac{5}{2}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{16 k}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{16 k}{5} \cdot \frac{4}{4} - \frac{15 k}{4} - \frac{4}{5} \geq - \frac{5}{2}$

Étape 3.3

Pour écrire $- \frac{15 k}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16 k}{5} \cdot \frac{4}{4} - \frac{15 k}{4} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5} \geq - \frac{5}{2}$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $20$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{16 k}{5}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{16 k \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{15 k}{4} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5} \geq - \frac{5}{2}$

Étape 3.4.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{16 k \cdot 4}{20} - \frac{15 k}{4} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5} \geq - \frac{5}{2}$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{15 k}{4}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16 k \cdot 4}{20} - \frac{15 k \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{4}{5} \geq - \frac{5}{2}$

Étape 3.4.4

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{16 k \cdot 4}{20} - \frac{15 k \cdot 5}{20} - \frac{4}{5} \geq - \frac{5}{2}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{16 k \cdot 4 - 15 k \cdot 5}{20} - \frac{4}{5} \geq - \frac{5}{2}$

Étape 3.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Factorisez $k$ à partir de $16 k \cdot 4 - 15 k \cdot 5$ .

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Étape 3.6.1.1.1

Factorisez $k$ à partir de $16 k \cdot 4$ .

$\frac{k (16 \cdot 4) - 15 k \cdot 5}{20} - \frac{4}{5} \geq - \frac{5}{2}$

Étape 3.6.1.1.2

Factorisez $k$ à partir de $- 15 k \cdot 5$ .

$\frac{k (16 \cdot 4) + k (- 15 \cdot 5)}{20} - \frac{4}{5} \geq - \frac{5}{2}$

Étape 3.6.1.1.3

Factorisez $k$ à partir de $k (16 \cdot 4) + k (- 15 \cdot 5)$ .

$\frac{k (16 \cdot 4 - 15 \cdot 5)}{20} - \frac{4}{5} \geq - \frac{5}{2}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $16$ par $4$ .

$\frac{k (64 - 15 \cdot 5)}{20} - \frac{4}{5} \geq - \frac{5}{2}$

Étape 3.6.1.3

Multipliez $- 15$ par $5$ .

$\frac{k (64 - 75)}{20} - \frac{4}{5} \geq - \frac{5}{2}$

Étape 3.6.1.4

Soustrayez $75$ de $64$ .

$\frac{k \cdot - 11}{20} - \frac{4}{5} \geq - \frac{5}{2}$

Étape 3.6.2

Déplacez $- 11$ à gauche de $k$ .

$\frac{- 11 \cdot k}{20} - \frac{4}{5} \geq - \frac{5}{2}$

Étape 3.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11 k}{20} - \frac{4}{5} \geq - \frac{5}{2}$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $k$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 4.1

Ajoutez $\frac{4}{5}$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- \frac{11 k}{20} \geq - \frac{5}{2} + \frac{4}{5}$

Étape 4.2

Pour écrire $- \frac{5}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{11 k}{20} \geq - \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4}{5}$

Étape 4.3

Pour écrire $\frac{4}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{11 k}{20} \geq - \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $10$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{11 k}{20} \geq - \frac{5 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$- \frac{11 k}{20} \geq - \frac{5 \cdot 5}{10} + \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.4.3

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{11 k}{20} \geq - \frac{5 \cdot 5}{10} + \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2}$

Étape 4.4.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$- \frac{11 k}{20} \geq - \frac{5 \cdot 5}{10} + \frac{4 \cdot 2}{10}$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{11 k}{20} \geq \frac{- 5 \cdot 5 + 4 \cdot 2}{10}$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$- \frac{11 k}{20} \geq \frac{- 25 + 4 \cdot 2}{10}$

Étape 4.6.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{11 k}{20} \geq \frac{- 25 + 8}{10}$

Étape 4.6.3

Additionnez $- 25$ et $8$ .

$- \frac{11 k}{20} \geq \frac{- 17}{10}$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11 k}{20} \geq - \frac{17}{10}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- \frac{11 k}{20} \geq - \frac{17}{10}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{11 k}{20} \geq - \frac{17}{10}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- \frac{11 k}{20}}{- 1} \leq \frac{- \frac{17}{10}}{- 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{11 k}{20}}{1} \leq \frac{- \frac{17}{10}}{- 1}$

Étape 5.2.2

Divisez $\frac{11 k}{20}$ par $1$ .

$\frac{11 k}{20} \leq \frac{- \frac{17}{10}}{- 1}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{11 k}{20} \leq \frac{\frac{17}{10}}{1}$

Étape 5.3.2

Divisez $\frac{17}{10}$ par $1$ .

$\frac{11 k}{20} \leq \frac{17}{10}$

Étape 6

Multipliez les deux côtés par $20$ .

$\frac{11 k}{20} \cdot 20 \leq \frac{17}{10} \cdot 20$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun de $20$ .

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Étape 7.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 k}{20} \cdot 20 \leq \frac{17}{10} \cdot 20$

Étape 7.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$11 k \leq \frac{17}{10} \cdot 20$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

Simplifiez $\frac{17}{10} \cdot 20$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Factorisez $10$ à partir de $20$ .

$11 k \leq \frac{17}{10} \cdot (10 (2))$

Étape 7.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$11 k \leq \frac{17}{10} \cdot (10 \cdot 2)$

Étape 7.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$11 k \leq 17 \cdot 2$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $17$ par $2$ .

$11 k \leq 34$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $11 k \leq 34$ par $11$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $11 k \leq 34$ par $11$ .

$\frac{11 k}{11} \leq \frac{34}{11}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 k}{11} \leq \frac{34}{11}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $k$ par $1$ .

$k \leq \frac{34}{11}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$k \leq \frac{34}{11}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{34}{11}]$