Algèbre Exemples

${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 25$ $x - y^{2} = - 4$

Étape 1

Ajoutez $y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = - 4 + y^{2}$

${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 25$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 4 + y^{2}$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 25$ par $- 4 + y^{2}$ .

${((- 4 + y^{2}) - 1)}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${((- 4 + y^{2}) - 1)}^{2} + y^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

${(y^{2} - 5)}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Réécrivez ${(y^{2} - 5)}^{2}$ comme $(y^{2} - 5) (y^{2} - 5)$ .

$(y^{2} - 5) (y^{2} - 5) + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 2.2.1.1.3

Développez $(y^{2} - 5) (y^{2} - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} (y^{2} - 5) - 5 (y^{2} - 5) + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 2.2.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot - 5 - 5 (y^{2} - 5) + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 2.2.1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot - 5 - 5 y^{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

$y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot - 5 - 5 y^{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 2.2.1.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.4.1.1

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.4.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{2 + 2} + y^{2} \cdot - 5 - 5 y^{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 2.2.1.1.4.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$y^{4} + y^{2} \cdot - 5 - 5 y^{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

$y^{4} + y^{2} \cdot - 5 - 5 y^{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 2.2.1.1.4.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $y^{2}$ .

$y^{4} - 5 \cdot y^{2} - 5 y^{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 2.2.1.1.4.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$y^{4} - 5 y^{2} - 5 y^{2} + 25 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

$y^{4} - 5 y^{2} - 5 y^{2} + 25 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 2.2.1.1.4.2

Soustrayez $5 y^{2}$ de $- 5 y^{2}$ .

$y^{4} - 10 y^{2} + 25 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

$y^{4} - 10 y^{2} + 25 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

$y^{4} - 10 y^{2} + 25 + y^{2} = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 2.2.1.2

Additionnez $- 10 y^{2}$ et $y^{2}$ .

$y^{4} - 9 y^{2} + 25 = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

$y^{4} - 9 y^{2} + 25 = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

$y^{4} - 9 y^{2} + 25 = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

$y^{4} - 9 y^{2} + 25 = 25$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $y^{4} - 9 y^{2} + 25 = 25$ .

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Étape 3.1

Remplacez $u = y^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - 9 u + 25 = 25$

$u = y^{2}$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.2

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} - 9 u + 25 - 25 = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.3

Associez les termes opposés dans $u^{2} - 9 u + 25 - 25$ .

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Étape 3.3.1

Soustrayez $25$ de $25$ .

$u^{2} - 9 u + 0 = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.3.2

Additionnez $u^{2} - 9 u$ et $0$ .

$u^{2} - 9 u = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

$u^{2} - 9 u = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.4

Factorisez $u$ à partir de $u^{2} - 9 u$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$u \cdot u - 9 u = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.4.2

Factorisez $u$ à partir de $- 9 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 9 = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.4.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot u + u \cdot - 9$ .

$u (u - 9) = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

$u (u - 9) = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$u - 9 = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.6

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.7

Définissez $u - 9$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $u - 9$ égal à $0$ .

$u - 9 = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.7.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 9$

$x = - 4 + y^{2}$

$u = 9$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $u (u - 9) = 0$ vraie.

$u = 0, 9$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.9

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = y^{2}$ dans l’équation résolue.

$y^{2} = 0$

$y^{2} = 9$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.10

Résolvez la première équation pour $y$ .

$y^{2} = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.11

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 3.11.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{0}$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.11.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.11.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.11.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \pm 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.11.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$y = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

$y = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

$y = 0$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.12

Résolvez la deuxième équation pour $y$ .

$y^{2} = 9$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.13

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 3.13.1

Supprimez les parenthèses.

$y^{2} = 9$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.13.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{9}$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.13.3

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 3.13.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2}}$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.13.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \pm 3$

$x = - 4 + y^{2}$

$y = \pm 3$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.13.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.13.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = 3$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.13.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - 3$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.13.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = 3, - 3$

$x = - 4 + y^{2}$

$y = 3, - 3$

$x = - 4 + y^{2}$

$y = 3, - 3$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 3.14

La solution à $y^{4} - 9 y^{2} + 25 = 25$ est $y = 0, 3, - 3$ .

$y = 0, 3, - 3$

$x = - 4 + y^{2}$

$y = 0, 3, - 3$

$x = - 4 + y^{2}$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - 4 + y^{2}$ par $0$ .

$x = - 4 + {(0)}^{2}$

$y = 0$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $- 4 + {(0)}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = - 4 + 0$

$y = 0$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $3$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - 4 + y^{2}$ par $3$ .

$x = - 4 + {(3)}^{2}$

$y = 3$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $- 4 + {(3)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = - 4 + 9$

$y = 3$

Étape 5.2.1.2

Additionnez $- 4$ et $9$ .

$x = 5$

$y = 3$

$x = 5$

$y = 3$

$x = 5$

$y = 3$

$x = 5$

$y = 3$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 6.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - 4 + y^{2}$ par $0$ .

$x = - 4 + {(0)}^{2}$

$y = 0$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

Simplifiez $- 4 + {(0)}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = - 4 + 0$

$y = 0$

Étape 6.2.1.2

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $3$ dans chaque équation.

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Étape 7.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - 4 + y^{2}$ par $3$ .

$x = - 4 + {(3)}^{2}$

$y = 3$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

Simplifiez $- 4 + {(3)}^{2}$ .

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Étape 7.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = - 4 + 9$

$y = 3$

Étape 7.2.1.2

Additionnez $- 4$ et $9$ .

$x = 5$

$y = 3$

$x = 5$

$y = 3$

$x = 5$

$y = 3$

$x = 5$

$y = 3$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 3$ dans chaque équation.

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Étape 8.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - 4 + y^{2}$ par $- 3$ .

$x = - 4 + {(- 3)}^{2}$

$y = - 3$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

Simplifiez $- 4 + {(- 3)}^{2}$ .

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Étape 8.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = - 4 + 9$

$y = - 3$

Étape 8.2.1.2

Additionnez $- 4$ et $9$ .

$x = 5$

$y = - 3$

$x = 5$

$y = - 3$

$x = 5$

$y = - 3$

$x = 5$

$y = - 3$

Étape 9

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(- 4, 0)$

$(5, 3)$

$(5, - 3)$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(- 4, 0), (5, 3), (5, - 3)$

Forme de l’équation :

$x = - 4, y = 0$

$x = 5, y = 3$

$x = 5, y = - 3$

Étape 11