Algèbre Exemples

$\frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x + 5} = \frac{r x + t}{(x - 2) (x + 5)}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{r x + t}{(x - 2) (x + 5)} = \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x + 5}$ .

$\frac{r x + t}{(x - 2) (x + 5)} = \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x + 5}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $(x - 2) (x + 5)$ .

$\frac{r x + t}{(x - 2) (x + 5)} ((x - 2) (x + 5)) = (\frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x + 5}) ((x - 2) (x + 5))$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $(x - 2) (x + 5)$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r x + t}{(x - 2) (x + 5)} ((x - 2) (x + 5)) = (\frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x + 5}) ((x - 2) (x + 5))$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$r x + t = (\frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x + 5}) ((x - 2) (x + 5))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $(\frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x + 5}) ((x - 2) (x + 5))$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour écrire $\frac{2}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$r x + t = (\frac{2}{x - 2} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} + \frac{3}{x + 5}) ((x - 2) (x + 5))$

Étape 3.2.1.2

Pour écrire $\frac{3}{x + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$r x + t = (\frac{2}{x - 2} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} + \frac{3}{x + 5} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}) ((x - 2) (x + 5))$

Étape 3.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 2) (x + 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Multipliez $\frac{2}{x - 2}$ par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$r x + t = (\frac{2 (x + 5)}{(x - 2) (x + 5)} + \frac{3}{x + 5} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}) ((x - 2) (x + 5))$

Étape 3.2.1.3.2

Multipliez $\frac{3}{x + 5}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$r x + t = (\frac{2 (x + 5)}{(x - 2) (x + 5)} + \frac{3 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)}) ((x - 2) (x + 5))$

Étape 3.2.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 5)$ .

$r x + t = (\frac{2 (x + 5)}{(x + 5) (x - 2)} + \frac{3 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)}) ((x - 2) (x + 5))$

Étape 3.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$r x + t = \frac{2 (x + 5) + 3 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} ((x - 2) (x + 5))$

Étape 3.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$r x + t = \frac{2 x + 2 \cdot 5 + 3 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} ((x - 2) (x + 5))$

Étape 3.2.1.5.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$r x + t = \frac{2 x + 10 + 3 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} ((x - 2) (x + 5))$

Étape 3.2.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$r x + t = \frac{2 x + 10 + 3 x + 3 \cdot - 2}{(x + 5) (x - 2)} ((x - 2) (x + 5))$

Étape 3.2.1.5.4

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$r x + t = \frac{2 x + 10 + 3 x - 6}{(x + 5) (x - 2)} ((x - 2) (x + 5))$

Étape 3.2.1.5.5

Additionnez $2 x$ et $3 x$ .

$r x + t = \frac{5 x + 10 - 6}{(x + 5) (x - 2)} ((x - 2) (x + 5))$

Étape 3.2.1.5.6

Soustrayez $6$ de $10$ .

$r x + t = \frac{5 x + 4}{(x + 5) (x - 2)} ((x - 2) (x + 5))$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $(x - 2) (x + 5)$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Factorisez $(x - 2) (x + 5)$ à partir de $(x + 5) (x - 2)$ .

$r x + t = \frac{5 x + 4}{(x - 2) (x + 5) (1)} ((x - 2) (x + 5))$

Étape 3.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$r x + t = \frac{5 x + 4}{(x - 2) (x + 5) \cdot 1} ((x - 2) (x + 5))$

Étape 3.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$r x + t = 5 x + 4$

Étape 4

Résolvez $r$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $t$ des deux côtés de l’équation.

$r x = 5 x + 4 - t$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $r x = 5 x + 4 - t$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $r x = 5 x + 4 - t$ par $x$ .

$\frac{r x}{x} = \frac{5 x}{x} + \frac{4}{x} + \frac{- t}{x}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r x}{x} = \frac{5 x}{x} + \frac{4}{x} + \frac{- t}{x}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $r$ par $1$ .

$r = \frac{5 x}{x} + \frac{4}{x} + \frac{- t}{x}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{5 x}{x} + \frac{4}{x} + \frac{- t}{x}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Divisez $5$ par $1$ .

$r = 5 + \frac{4}{x} + \frac{- t}{x}$

Étape 4.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$r = 5 + \frac{4}{x} - \frac{t}{x}$