Algèbre Exemples

$\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) - 1 = 0$

Étape 1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

Étape 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = \pm \sqrt{1}$

Étape 3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = \pm 1$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

Étape 4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$

Étape 4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1, - 1$

Étape 5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$

Étape 6

Résolvez $x$ dans $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$ .

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Étape 6.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arccos (1)$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 0$

Étape 6.3

Soustrayez $\frac{π}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{3}$

Étape 6.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Étape 6.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Étape 6.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (- \frac{π}{3})$

Étape 6.5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{π}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Multipliez $2 (- \frac{π}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = - 2 \frac{π}{3}$

Étape 6.5.2.1.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{- 2 π}{3}$

Étape 6.5.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2 π}{3}$

Étape 6.6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π - 0$

Étape 6.7

Résolvez $x$ .

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Étape 6.7.1

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π$

Étape 6.7.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.7.2.1

Soustrayez $\frac{π}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 6.7.2.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.7.2.3

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 6.7.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.7.2.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 6.7.2.5.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{3}$

Étape 6.7.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{3}$

Étape 6.7.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{3}$

Étape 6.7.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \frac{5 π}{3}$

Étape 6.7.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.4.2.1

Multipliez $2 \frac{5 π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.4.2.1.1

Associez $2$ et $\frac{5 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (5 π)}{3}$

Étape 6.7.4.2.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$x = \frac{10 π}{3}$

Étape 6.8

Déterminez la période de $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

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Étape 6.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.8.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 6.8.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 6.8.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 6.8.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 6.9

Ajoutez $4 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 6.9.1

Ajoutez $4 π$ à $- \frac{2 π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{2 π}{3} + 4 π$

Étape 6.9.2

Pour écrire $4 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$4 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 6.9.3

Associez les fractions.

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Étape 6.9.3.1

Associez $4 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 6.9.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Étape 6.9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.9.4.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 π - 2 π}{3}$

Étape 6.9.4.2

Soustrayez $2 π$ de $12 π$ .

$\frac{10 π}{3}$

Étape 6.9.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{10 π}{3}$

Étape 6.10

La période de la fonction $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$ .

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Étape 7.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arccos (- 1)$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π$

Étape 7.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.3.1

Soustrayez $\frac{π}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{3}$

Étape 7.3.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.3.3

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 7.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 7.3.5.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Étape 7.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Étape 7.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Étape 7.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \frac{2 π}{3}$

Étape 7.5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.1

Multipliez $2 \frac{2 π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.1.1

Associez $2$ et $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3}$

Étape 7.5.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 7.6

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π - π$

Étape 7.7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.7.1

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π$

Étape 7.7.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.7.2.1

Soustrayez $\frac{π}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{3}$

Étape 7.7.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.7.2.3

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 7.7.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.2.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 7.7.2.5.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Étape 7.7.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Étape 7.7.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Étape 7.7.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \frac{2 π}{3}$

Étape 7.7.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.4.2.1

Multipliez $2 \frac{2 π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.4.2.1.1

Associez $2$ et $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3}$

Étape 7.7.4.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 7.8

Déterminez la période de $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.8.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 7.8.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 7.8.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 7.8.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 7.9

La période de la fonction $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{4 π}{3} + 4 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{4 π}{3} + 4 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$