Algèbre Exemples

$\frac{5 - 4 \sqrt{2}}{4 - 3 \sqrt{2}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{5 - 4 \sqrt{2}}{4 - 3 \sqrt{2}}$ par $\frac{4 + 3 \sqrt{2}}{4 + 3 \sqrt{2}}$ .

$\frac{5 - 4 \sqrt{2}}{4 - 3 \sqrt{2}} \cdot \frac{4 + 3 \sqrt{2}}{4 + 3 \sqrt{2}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{5 - 4 \sqrt{2}}{4 - 3 \sqrt{2}}$ par $\frac{4 + 3 \sqrt{2}}{4 + 3 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(5 - 4 \sqrt{2}) (4 + 3 \sqrt{2})}{(4 - 3 \sqrt{2}) (4 + 3 \sqrt{2})}$

Étape 3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(5 - 4 \sqrt{2}) (4 + 3 \sqrt{2})}{16 + 12 \sqrt{2} - 12 \sqrt{2} - 9 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

$\frac{(5 - 4 \sqrt{2}) (4 + 3 \sqrt{2})}{- 2}$

Étape 5

Développez $(5 - 4 \sqrt{2}) (4 + 3 \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (4 + 3 \sqrt{2}) - 4 \sqrt{2} (4 + 3 \sqrt{2})}{- 2}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 4 + 5 (3 \sqrt{2}) - 4 \sqrt{2} (4 + 3 \sqrt{2})}{- 2}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 4 + 5 (3 \sqrt{2}) - 4 \sqrt{2} \cdot 4 - 4 \sqrt{2} (3 \sqrt{2})}{- 2}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{20 + 5 (3 \sqrt{2}) - 4 \sqrt{2} \cdot 4 - 4 \sqrt{2} (3 \sqrt{2})}{- 2}$

Étape 6.1.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{20 + 15 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} \cdot 4 - 4 \sqrt{2} (3 \sqrt{2})}{- 2}$

Étape 6.1.3

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$\frac{20 + 15 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} (3 \sqrt{2})}{- 2}$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 4 \sqrt{2} (3 \sqrt{2})$ .

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{20 + 15 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2} - 12 \sqrt{2} \sqrt{2}}{- 2}$

Étape 6.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{20 + 15 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2} - 12 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{- 2}$

Étape 6.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{20 + 15 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2} - 12 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{- 2}$

Étape 6.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{20 + 15 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2} - 12 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{- 2}$

Étape 6.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{20 + 15 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2} - 12 {\sqrt{2}}^{2}}{- 2}$

Étape 6.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{20 + 15 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2} - 12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2}$

Étape 6.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{20 + 15 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2} - 12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2}$

Étape 6.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{20 + 15 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2} - 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

Étape 6.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 + 15 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2} - 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

Étape 6.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{20 + 15 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2} - 12 \cdot 2^{1}}{- 2}$

Étape 6.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{20 + 15 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2} - 12 \cdot 2}{- 2}$

Étape 6.1.6

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$\frac{20 + 15 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2} - 24}{- 2}$

Étape 6.2

Soustrayez $24$ de $20$ .

$\frac{- 4 + 15 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2}}{- 2}$

Étape 6.3

Soustrayez $16 \sqrt{2}$ de $15 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 4 - \sqrt{2}}{- 2}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{- 4 - \sqrt{2}}{2}$

Étape 8

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$- \frac{- 1 (4) - \sqrt{2}}{2}$

Étape 9

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{2}$ .

$- \frac{- 1 (4) - (\sqrt{2})}{2}$

Étape 10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (4) - (\sqrt{2})$ .

$- \frac{- 1 (4 + \sqrt{2})}{2}$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

Étape 12

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

Étape 13

Multipliez $\frac{4 + \sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

Forme décimale :

$2.70710678 \dots$