Algèbre Exemples

$\frac{3}{x - 1} - \frac{2 x + 10}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{1}{3}$

Étape 1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 1.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 10$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{3}{x - 1} - \frac{2 (x) + 10}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{1}{3}$

Étape 1.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{3}{x - 1} - \frac{2 x + 2 \cdot 5}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{1}{3}$

Étape 1.1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 5$ .

$\frac{3}{x - 1} - \frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{1}{3}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $x^{2} + 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 1.1.1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3}{x - 1} - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{1}{3}$

Étape 1.2

Soustrayez $\frac{1}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3}{x - 1} - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} - \frac{1}{3} = 0$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x - 1, (x - 1) (x + 3), 3, 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

$3$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $3$ .

$3$ est un nombre premier

Étape 2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.6

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 3, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$3$

Étape 2.7

Le facteur pour $x - 1$ est $x - 1$ lui-même.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.8

Le facteur pour $x + 3$ est $x + 3$ lui-même.

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.9

Le plus petit multiple commun de $x - 1, x - 1, x + 3$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x - 1) (x + 3)$

Étape 2.10

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$3 (x - 1) (x + 3)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{3}{x - 1} - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} - \frac{1}{3} = 0$ par $3 (x - 1) (x + 3)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{3}{x - 1} - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} - \frac{1}{3} = 0$ par $3 (x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{3}{x - 1} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{3}{x - 1} ((x - 1) (x + 3)) - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $3 \frac{3}{x - 1}$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Associez $3$ et $\frac{3}{x - 1}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{x - 1} ((x - 1) (x + 3)) - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9}{x - 1} ((x - 1) (x + 3)) - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{x - 1} ((x - 1) (x + 3)) - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$9 (x + 3) - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$9 x + 9 \cdot 3 - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $9$ par $3$ .

$9 x + 27 - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $(x - 1) (x + 3)$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)}$ dans le numérateur.

$9 x + 27 + \frac{- 2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.6.2

Factorisez $(x - 1) (x + 3)$ à partir de $3 (x - 1) (x + 3)$ .

$9 x + 27 + \frac{- 2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} ((x - 1) (x + 3) (3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$9 x + 27 + \frac{- 2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} ((x - 1) (x + 3) \cdot 3) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$9 x + 27 - 2 (x + 5) \cdot 3 - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.7

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$9 x + 27 - 6 (x + 5) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$9 x + 27 - 6 x - 6 \cdot 5 - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.9

Multipliez $- 6$ par $5$ .

$9 x + 27 - 6 x - 30 - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.10

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.10.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$9 x + 27 - 6 x - 30 + \frac{- 1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.10.2

Factorisez $3$ à partir de $3 (x - 1) (x + 3)$ .

$9 x + 27 - 6 x - 30 + \frac{- 1}{3} (3 ((x - 1) (x + 3))) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.10.3

Annulez le facteur commun.

$9 x + 27 - 6 x - 30 + \frac{- 1}{3} (3 ((x - 1) (x + 3))) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.10.4

Réécrivez l’expression.

$9 x + 27 - 6 x - 30 - ((x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.11

Développez $(x - 1) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 x + 27 - 6 x - 30 - (x (x + 3) - 1 (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 x + 27 - 6 x - 30 - (x \cdot x + x \cdot 3 - 1 (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 x + 27 - 6 x - 30 - (x \cdot x + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.12.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$9 x + 27 - 6 x - 30 - (x^{2} + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.12.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$9 x + 27 - 6 x - 30 - (x^{2} + 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 3) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.12.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$9 x + 27 - 6 x - 30 - (x^{2} + 3 x - x - 1 \cdot 3) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.12.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$9 x + 27 - 6 x - 30 - (x^{2} + 3 x - x - 3) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.12.2

Soustrayez $x$ de $3 x$ .

$9 x + 27 - 6 x - 30 - (x^{2} + 2 x - 3) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.13

Appliquez la propriété distributive.

$9 x + 27 - 6 x - 30 - x^{2} - (2 x) - - 3 = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.14

Simplifiez

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Étape 3.2.1.14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$9 x + 27 - 6 x - 30 - x^{2} - 2 x - - 3 = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.1.14.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$9 x + 27 - 6 x - 30 - x^{2} - 2 x + 3 = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $6 x$ de $9 x$ .

$3 x + 27 - 30 - x^{2} - 2 x + 3 = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $2 x$ de $3 x$ .

$x + 27 - 30 - x^{2} + 3 = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.2.3

Soustrayez $30$ de $27$ .

$x - 3 - x^{2} + 3 = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 3 - x^{2} + 3$ .

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Étape 3.2.2.4.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$x - x^{2} + 0 = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.2.2.4.2

Additionnez $x - x^{2}$ et $0$ .

$x - x^{2} = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x - x^{2} = 0 ((3 x + 3 \cdot - 1) (x + 3))$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x - x^{2} = 0 ((3 x - 3) (x + 3))$

Étape 3.3.2

Développez $(3 x - 3) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x - x^{2} = 0 (3 x (x + 3) - 3 (x + 3))$

Étape 3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x - x^{2} = 0 (3 x \cdot x + 3 x \cdot 3 - 3 (x + 3))$

Étape 3.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x - x^{2} = 0 (3 x \cdot x + 3 x \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3)$

Étape 3.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$x - x^{2} = 0 (3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3)$

Étape 3.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x - x^{2} = 0 (3 x^{2} + 3 x \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3)$

Étape 3.3.3.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$x - x^{2} = 0 (3 x^{2} + 9 x - 3 x - 3 \cdot 3)$

Étape 3.3.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$x - x^{2} = 0 (3 x^{2} + 9 x - 3 x - 9)$

Étape 3.3.3.2

Soustrayez $3 x$ de $9 x$ .

$x - x^{2} = 0 (3 x^{2} + 6 x - 9)$

Étape 3.3.4

Multipliez $0$ par $3 x^{2} + 6 x - 9$ .

$x - x^{2} = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$u - u^{2} = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez $u$ à partir de $u - u^{2}$ .

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Étape 4.1.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Étape 4.1.2.2

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Étape 4.1.2.3

Factorisez $u$ à partir de $- u^{2}$ .

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Étape 4.1.2.4

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$u (1 - u) = 0$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$x (1 - x) = 0$

Étape 4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

Étape 4.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.4

Définissez $1 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $1 - x$ égal à $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 4.4.2

Résolvez $1 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 4.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.4.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (1 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{3}{x - 1} - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} - \frac{1}{3} = 0$ vrai.

$x = 0$