Algèbre Exemples

$\cos^{2} (x) = \sin (x)$

Étape 1

Soustrayez $\sin (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Étape 2

Remplacez $\cos^{2} (x)$ par $1 - \sin^{2} (x)$ .

$(1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x) = 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$1 - {(u)}^{2} - (u) = 0$

Étape 3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = - 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.4.1.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.4.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 3.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.6

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.8

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 3.9

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Étape 3.9.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.2.1

Évaluez $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$x = 0.66623943$

Étape 3.9.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$

Étape 3.9.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265 - 2 π$

Étape 3.9.4.2

L’angle résultant de $2.47535322$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ .

$x = 2.47535322$

Étape 3.9.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.9.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.9.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.9.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.9.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.10

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , pour tout entier $n$