Algèbre Exemples

$x + 3 y^{2} + 12 y = 18$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1

Soustrayez $3 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x + 12 y = 18 - 3 y^{2}$

Étape 1.1.2

Soustrayez $12 y$ des deux côtés de l’équation.

$x = 18 - 3 y^{2} - 12 y$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $18 - 3 y^{2} - 12 y$ .

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Étape 1.2.1

Déplacez $18$ .

$- 3 y^{2} - 12 y + 18$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 3$

$b = - 12$

$c = 18$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot - 3}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $2$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 3}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (- 3)}$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 3}$

Étape 1.2.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 6}{- 3}$

Étape 1.2.4.2.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $- 3$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 6$ .

$d = \frac{- 3 (2)}{- 3}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.2.2.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3$ .

$d = \frac{- 3 \cdot 2}{- 3 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 3 \cdot 2}{- 3 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{1}$

Étape 1.2.4.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$d = 2$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 18 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot - 3}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$e = 18 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$e = 18 - \frac{144}{- 12}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Divisez $144$ par $- 12$ .

$e = 18 - - 12$

Étape 1.2.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$e = 18 + 12$

Étape 1.2.5.2.2

Additionnez $18$ et $12$ .

$e = 30$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 3 {(y + 2)}^{2} + 30$ .

$- 3 {(y + 2)}^{2} + 30$

Étape 1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = - 3 {(y + 2)}^{2} + 30$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 3$

$h = 30$

$k = - 2$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers la gauche.

Ouvre vers la gauche

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(30, - 2)$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Étape 5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{12}$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{359}{12}, - 2)$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = - 2$

Étape 8