Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{8}}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{4 (2)}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - (2 \sqrt{2})}$

Étape 1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}$

Étape 3

Associez les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{2})}$

Étape 3.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{2})}{{\sqrt{3}}^{2} + 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 4

Développez $(\sqrt{2} + \sqrt{3}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}) + \sqrt{3} (\sqrt{3} + 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{3} (\sqrt{3} + 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5.1.3

Multipliez $\sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Étape 5.1.3.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{6} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5.1.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{6} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{6} + 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{6} + 2 {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6} + 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6} + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{6} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{6} + 2 \cdot 2^{1} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{6} + 2 \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + 4 + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5.1.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6} + 4 + \sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5.1.7

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{6} + 4 + \sqrt{9} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5.1.8

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + 4 + \sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{6} + 4 + 3 + \sqrt{3} (2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5.1.10

Multipliez $\sqrt{3} (2 \sqrt{2})$ .

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Étape 5.1.10.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6} + 4 + 3 + 2 \sqrt{3 \cdot 2}}{- 5}$

Étape 5.1.10.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + 4 + 3 + 2 \sqrt{6}}{- 5}$

Étape 5.2

Additionnez $\sqrt{6}$ et $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{4 + 3 + 3 \sqrt{6}}{- 5}$

Étape 5.3

Additionnez $4$ et $3$ .

$\frac{7 + 3 \sqrt{6}}{- 5}$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7 + 3 \sqrt{6}}{5}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{7 + 3 \sqrt{6}}{5}$

Forme décimale :

$- 2.86969384 \dots$