Algèbre Exemples

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + 8 x + 15} \div \frac{x + 4}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ et dont la somme est $b = 7$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 (x) - 4}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $7$ comme $- 1$ plus $8$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 + 8) x - 4}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 1 x + 8 x - 4}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) + 8 x - 4}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 4)}{x^{2} + 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + 8 x + 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $8$ .

$3, 5$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(2 x - 1) (x + 4)}{(x + 3) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x + 4$ à partir de $(2 x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) (2 x - 1)}{(x + 3) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 4) (2 x - 1)}{(x + 3) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 4}$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x - 1}{(x + 3) (x + 5)} (x^{2} + 10 x + 25)$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2 x - 1}{(x + 3) (x + 5)}$ par $x^{2} + 10 x + 25$ .

$\frac{(2 x - 1) (x^{2} + 10 x + 25)}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{(2 x - 1) (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Étape 5.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(2 x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{(2 x - 1) {(x + 5)}^{2}}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à ${(x + 5)}^{2}$ et $x + 5$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x + 5$ à partir de $(2 x - 1) {(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{(x + 5) ((2 x - 1) (x + 5))}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $x + 5$ à partir de $(x + 3) (x + 5)$ .

$\frac{(x + 5) ((2 x - 1) (x + 5))}{(x + 5) (x + 3)}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 5) ((2 x - 1) (x + 5))}{(x + 5) (x + 3)}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 x - 1) (x + 5)}{x + 3}$