Algèbre Exemples

$f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ comme une équation.

$y = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 \cdot 3^{2 y} + 4$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 \cdot 3^{2 y} + 4 = x$ .

$2 \cdot 3^{2 y} + 4 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$ par $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{2 y}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3^{2 y}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $3^{2 y}$ par $1$ .

$3^{2 y} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Divisez $- 4$ par $2$ .

$3^{2 y} = \frac{x}{2} - 2$

Étape 3.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{2 y}) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Étape 3.5

Développez $\ln (3^{2 y})$ en déplaçant $2 y$ hors du logarithme.

$2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Étape 3.6

Divisez chaque terme dans $2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$ par $2 \ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 3.6.1

Divisez chaque terme dans $2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$ par $2 \ln (3)$ .

$\frac{2 y \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Étape 3.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Étape 3.6.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 3.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Étape 3.6.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$ est l’inverse de $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 \cdot 3^{2 x} + 4}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun à $2 \cdot 3^{2 x} + 4$ et $2$ .

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3^{2 x}$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x}) + 4}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Étape 5.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x}) + 2 \cdot 2}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Étape 5.2.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3^{2 x}) + 2 (2)$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Étape 5.2.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2 (1)} - 2)}{2 \ln (3)}$

Étape 5.2.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2 \cdot 1} - 2)}{2 \ln (3)}$

Étape 5.2.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{3^{2 x} + 2}{1} - 2)}{2 \ln (3)}$

Étape 5.2.3.4.4

Divisez $3^{2 x} + 2$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x} + 2 - 2)}{2 \ln (3)}$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $3^{2 x} + 2 - 2$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x} + 0)}{2 \ln (3)}$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $3^{2 x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{2 \ln (3)}$

Étape 5.2.5

Simplifiez $2 \ln (3)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{\ln (3^{2})}$

Étape 5.2.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{\ln (9)}$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)})} + 4$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Étape 5.3.3.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Étape 5.3.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 2 \cdot 2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Étape 5.3.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez $2 \ln (3)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (3^{2})})} + 4$

Étape 5.3.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)})} + 4$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $2 \frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Associez $2$ et $\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{2 \ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}} + 4$

Étape 5.3.3.4.2

Simplifiez $2 \ln (\frac{x - 4}{2})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln ({(\frac{x - 4}{2})}^{2})}{\ln (9)}} + 4$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x - 4}{2}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln (\frac{{(x - 4)}^{2}}{2^{2}})}{\ln (9)}} + 4$

Étape 5.3.3.5.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln (\frac{{(x - 4)}^{2}}{4})}{\ln (9)}} + 4$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$ est l’inverse de $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$