Algèbre Exemples

Solve the inequality. $\frac{x - 1}{x + 1} \leq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 1$

$x = - 1$

Étape 5

Consolidez les solutions.

$x = 1, - 1$

Étape 6

Déterminez le domaine de $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 1}{x + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 1 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 4) - 1}{(- 4) + 1} \leq 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $1.\overline{6}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) - 1}{(0) + 1} \leq 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(4) - 1}{(4) + 1} \leq 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $0.6$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 < x \leq 1$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 1 < x \leq 1$

Notation d’intervalle :

$(- 1, 1]$

Étape 11