Algèbre Exemples

$x^{4} - 10 x^{3} + 9 x^{2} - x^{2} + 10 x - 9$

Étape 1

Regroupez les termes.

$x^{4} - 10 x^{3} + 9 x^{2} - x^{2} + 10 x - 9$

Étape 2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 10 x^{3} + 9 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 10 x^{3} + 9 x^{2} - x^{2} + 10 x - 9$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 10 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 10 x) + 9 x^{2} - x^{2} + 10 x - 9$

Étape 2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $9 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 9 - x^{2} + 10 x - 9$

Étape 2.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 10 x)$ .

$x^{2} (x^{2} - 10 x) + x^{2} \cdot 9 - x^{2} + 10 x - 9$

Étape 2.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} - 10 x) + x^{2} \cdot 9$ .

$x^{2} (x^{2} - 10 x + 9) - x^{2} + 10 x - 9$

Étape 3

Factorisez.

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Étape 3.1

Factorisez $x^{2} - 10 x + 9$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $9$ et dont la somme est $- 10$ .

$- 9, - 1$

Étape 3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x^{2} ((x - 9) (x - 1)) - x^{2} + 10 x - 9$

Étape 3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x - 9) (x - 1) - x^{2} + 10 x - 9$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ et dont la somme est $b = 10$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x$ .

$x^{2} (x - 9) (x - 1) - x^{2} + 10 (x) - 9$

Étape 4.1.2

Réécrivez $10$ comme $1$ plus $9$

$x^{2} (x - 9) (x - 1) - x^{2} + (1 + 9) x - 9$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (x - 9) (x - 1) - x^{2} + 1 x + 9 x - 9$

Étape 4.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} (x - 9) (x - 1) - x^{2} + x + 9 x - 9$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x^{2} (x - 9) (x - 1) + (- x^{2} + x) + 9 x - 9$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (x - 9) (x - 1) + x (- x + 1) - 9 (- x + 1)$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 1$ .

$x^{2} (x - 9) (x - 1) + (- x + 1) (x - 9)$

Étape 5

Factorisez $x - 9$ à partir de $x^{2} (x - 9) (x - 1) + (- x + 1) (x - 9)$ .

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Étape 5.1

Factorisez $x - 9$ à partir de $x^{2} (x - 9) (x - 1)$ .

$(x - 9) (x^{2} (x - 1)) + (- x + 1) (x - 9)$

Étape 5.2

Factorisez $x - 9$ à partir de $(- x + 1) (x - 9)$ .

$(x - 9) (x^{2} (x - 1)) + (x - 9) (- x + 1)$

Étape 5.3

Factorisez $x - 9$ à partir de $(x - 9) (x^{2} (x - 1)) + (x - 9) (- x + 1)$ .

$(x - 9) (x^{2} (x - 1) - x + 1)$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - x + 1)$

Étape 7

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 7.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x - 9) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 - x + 1)$

Étape 7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x - 9) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 - x + 1)$

Étape 7.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x - 9) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 - x + 1)$

Étape 8

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$(x - 9) (x^{3} - 1 x^{2} - x + 1)$

Étape 9

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$(x - 9) (x^{3} - x^{2} - x + 1)$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Réécrivez $x^{3} - x^{2} - x + 1$ en forme factorisée.

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Étape 10.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 10.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 9) ((x^{3} - x^{2}) - x + 1)$

Étape 10.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 9) (x^{2} (x - 1) - (x - 1))$

Étape 10.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$(x - 9) ((x - 1) (x^{2} - 1))$

Étape 10.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x - 9) ((x - 1) (x^{2} - 1^{2}))$

Étape 10.1.4

Factorisez.

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Étape 10.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x - 9) ((x - 1) ((x + 1) (x - 1)))$

Étape 10.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 9) ((x - 1) (x + 1) (x - 1))$

Étape 10.1.5

Associez les exposants.

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Étape 10.1.5.1

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$(x - 9) ({(x - 1)}^{1} (x - 1) (x + 1))$

Étape 10.1.5.2

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$(x - 9) ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (x + 1))$

Étape 10.1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x - 9) ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1))$

Étape 10.1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(x - 9) ({(x - 1)}^{2} (x + 1))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 9) {(x - 1)}^{2} (x + 1)$