Algèbre Exemples

$2 \log (2 x + 2) = \log (16) + 2 \log (x - 2)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $2 \log (2 x + 2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log ({(2 x + 2)}^{2}) = \log (16) + 2 \log (x - 2)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez $\log (16) + 2 \log (x - 2)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez $2 \log (x - 2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log ({(2 x + 2)}^{2}) = \log (16) + \log ({(x - 2)}^{2})$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(2 x + 2)}^{2}) = \log (16 {(x - 2)}^{2})$

Étape 3

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 {(x - 2)}^{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Simplifiez $16 {(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 ((x - 2) (x - 2))$

Étape 4.1.2

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Étape 4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Étape 4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Étape 4.1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Étape 4.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Étape 4.1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} - 4 x + 4)$

Étape 4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 x^{2} + 16 (- 4 x) + 16 \cdot 4$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 x^{2} - 64 x + 16 \cdot 4$

Étape 4.1.5.2

Multipliez $16$ par $4$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 x^{2} - 64 x + 64$

Étape 4.2

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = {(2 x + 2)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez ${(2 x + 2)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Réécrivez ${(2 x + 2)}^{2}$ comme $(2 x + 2) (2 x + 2)$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = (2 x + 2) (2 x + 2)$

Étape 4.3.2

Développez $(2 x + 2) (2 x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 x (2 x + 2) + 2 (2 x + 2)$

Étape 4.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x + 2)$

Étape 4.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Étape 4.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Étape 4.3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Étape 4.3.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Étape 4.3.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Étape 4.3.3.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Étape 4.3.3.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot 2$

Étape 4.3.3.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 4 x + 4 x + 4$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 8 x + 4$

Étape 4.4

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.4.1

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 x^{2} = 8 x + 4$

Étape 4.4.2

Soustrayez $8 x$ des deux côtés de l’équation.

$16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 x^{2} - 8 x = 4$

Étape 4.4.3

Soustrayez $4 x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 64 x + 64 - 8 x = 4$

Étape 4.4.4

Soustrayez $8 x$ de $- 64 x$ .

$12 x^{2} - 72 x + 64 = 4$

Étape 4.5

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$12 x^{2} - 72 x + 64 - 4 = 0$

Étape 4.6

Soustrayez $4$ de $64$ .

$12 x^{2} - 72 x + 60 = 0$

Étape 4.7

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.7.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} - 72 x + 60$ .

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Étape 4.7.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) - 72 x + 60 = 0$

Étape 4.7.1.2

Factorisez $12$ à partir de $- 72 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (- 6 x) + 60 = 0$

Étape 4.7.1.3

Factorisez $12$ à partir de $60$ .

$12 x^{2} + 12 (- 6 x) + 12 \cdot 5 = 0$

Étape 4.7.1.4

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} + 12 (- 6 x)$ .

$12 (x^{2} - 6 x) + 12 \cdot 5 = 0$

Étape 4.7.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{2} - 6 x) + 12 \cdot 5$ .

$12 (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Étape 4.7.2

Factorisez.

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Étape 4.7.2.1

Factorisez $x^{2} - 6 x + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.7.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 5, - 1$

Étape 4.7.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$12 ((x - 5) (x - 1)) = 0$

Étape 4.7.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (x - 5) (x - 1) = 0$

Étape 4.8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 4.9

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.9.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 4.9.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 4.10

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.10.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4.10.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 4.11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 (x - 5) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 5, 1$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \log (2 x + 2) = \log (16) + 2 \log (x - 2)$ vrai.

$x = 5$