Algèbre Exemples

$f (x) = \sqrt[3]{2 x^{5} - 10}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt[3]{2 x^{5} - 10}$ comme une équation.

$y = \sqrt[3]{2 x^{5} - 10}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[3]{2 y^{5} - 10}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{2 y^{5} - 10} = x$ .

$\sqrt[3]{2 y^{5} - 10} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{2 y^{5} - 10}}^{3} = x^{3}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2 y^{5} - 10}$ comme ${(2 y^{5} - 10)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(2 y^{5} - 10)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(2 y^{5} - 10)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 y^{5} - 10)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y^{5} - 10)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 y^{5} - 10)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 y^{5} - 10)}^{1} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$2 y^{5} - 10 = x^{3}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y^{5} = x^{3} + 10$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $2 y^{5} = x^{3} + 10$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{5} = x^{3} + 10$ par $2$ .

$\frac{2 y^{5}}{2} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{10}{2}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{5}}{2} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{10}{2}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y^{5}$ par $1$ .

$y^{5} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{10}{2}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Divisez $10$ par $2$ .

$y^{5} = \frac{x^{3}}{2} + 5$

Étape 3.4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[5]{\frac{x^{3}}{2} + 5}$

Étape 3.4.4

Simplifiez $\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{2} + 5}$ .

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Étape 3.4.4.1

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[5]{\frac{x^{3}}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 3.4.4.2

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[5]{\frac{x^{3}}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.4.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[5]{\frac{x^{3} + 5 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.4.4.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$y = \sqrt[5]{\frac{x^{3} + 10}{2}}$

Étape 3.4.4.5

Réécrivez $\sqrt[5]{\frac{x^{3} + 10}{2}}$ comme $\frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10}}{\sqrt[5]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10}}{\sqrt[5]{2}}$

Étape 3.4.4.6

Multipliez $\frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10}}{\sqrt[5]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10}}{\sqrt[5]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Étape 3.4.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.4.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10}}{\sqrt[5]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{\sqrt[5]{2} {\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Étape 3.4.4.7.2

Élevez $\sqrt[5]{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{1} {\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Étape 3.4.4.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{1 + 4}}$

Étape 3.4.4.7.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{5}}$

Étape 3.4.4.7.5

Réécrivez ${\sqrt[5]{2}}^{5}$ comme $2$ .

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Étape 3.4.4.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{2}$ comme $2^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{(2^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Étape 3.4.4.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Étape 3.4.4.7.5.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{5}{5}}}$

Étape 3.4.4.7.5.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.4.4.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{5}{5}}}$

Étape 3.4.4.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{1}}$

Étape 3.4.4.7.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2}$

Étape 3.4.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.8.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{2}}^{4}$ comme $\sqrt[5]{2^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} \sqrt[5]{2^{4}}}{2}$

Étape 3.4.4.8.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} \sqrt[5]{16}}{2}$

Étape 3.4.4.9

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.4.4.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[5]{(x^{3} + 10) \cdot 16}}{2}$

Étape 3.4.4.9.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[5]{(x^{3} + 10) \cdot 16}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{2 x^{5} - 10}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{16 ({(\sqrt[3]{2 x^{5} - 10})}^{3} + 10)}}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}$ comme ${(2 x^{5} - 10)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{16 ({({(2 x^{5} - 10)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 10)}}{2}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez les exposants dans ${({(2 x^{5} - 10)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{16 ({(2 x^{5} - 10)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 10)}}{2}$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{16 ({(2 x^{5} - 10)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 10)}}{2}$

Étape 5.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{16 ((2 x^{5} - 10) + 10)}}{2}$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{16 (2 x^{5} - 10 + 10)}}{2}$

Étape 5.2.3.4

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{16 (2 x^{5} + 0)}}{2}$

Étape 5.2.3.5

Additionnez $2 x^{5}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{16 \cdot (2 x^{5})}}{2}$

Étape 5.2.3.6

Multipliez $16$ par $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{32 x^{5}}}{2}$

Étape 5.2.3.7

Réécrivez $32 x^{5}$ comme ${(2 x)}^{5}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{{(2 x)}^{5}}}{2}$

Étape 5.2.3.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 {(\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2})}^{5} - 10}$

Étape 5.3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2})}^{5} - 10$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2})}^{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 ({(\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2})}^{5}) - 10}$

Étape 5.3.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 {(\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2})}^{5} + 2 \cdot - 5}$

Étape 5.3.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 {(\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2})}^{5} + 2 \cdot - 5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 ({(\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2})}^{5} - 5)}$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}^{5}}{2^{5}} - 5)}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.4.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}^{5}$ comme $16 (x^{3} + 10)$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}$ comme ${(16 (x^{3} + 10))}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{{({(16 (x^{3} + 10))}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}} - 5)}$

Étape 5.3.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{{(16 (x^{3} + 10))}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}} - 5)}$

Étape 5.3.4.1.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{{(16 (x^{3} + 10))}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}} - 5)}$

Étape 5.3.4.1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{{(16 (x^{3} + 10))}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}} - 5)}$

Étape 5.3.4.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 (x^{3} + 10)}{2^{5}} - 5)}$

Étape 5.3.4.1.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 (x^{3} + 10)}{2^{5}} - 5)}$

Étape 5.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 x^{3} + 16 \cdot 10}{2^{5}} - 5)}$

Étape 5.3.4.3

Multipliez $16$ par $10$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 x^{3} + 160}{2^{5}} - 5)}$

Étape 5.3.4.4

Factorisez $16$ à partir de $16 x^{3} + 160$ .

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Étape 5.3.4.4.1

Factorisez $16$ à partir de $16 x^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 (x^{3}) + 160}{2^{5}} - 5)}$

Étape 5.3.4.4.2

Factorisez $16$ à partir de $160$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 x^{3} + 16 \cdot 10}{2^{5}} - 5)}$

Étape 5.3.4.4.3

Factorisez $16$ à partir de $16 x^{3} + 16 \cdot 10$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 (x^{3} + 10)}{2^{5}} - 5)}$

Étape 5.3.5

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 (x^{3} + 10)}{32} - 5)}$

Étape 5.3.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 (x^{3} + 10)}{16 \cdot 2} - 5)}$

Étape 5.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 (x^{3} + 10)}{16 \cdot 2} - 5)}$

Étape 5.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} + 10}{2} - 5)}$

Étape 5.3.7

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} + 10}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}$

Étape 5.3.8

Associez $- 5$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} + 10}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}$

Étape 5.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} + 10 - 5 \cdot 2}{2})}$

Étape 5.3.10

Réécrivez $\frac{x^{3} + 10 - 5 \cdot 2}{2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.10.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} + 10 - 10}{2})}$

Étape 5.3.10.2

Soustrayez $10$ de $10$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} + 0}{2})}$

Étape 5.3.10.3

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2})}$

Étape 5.3.11

Associez $2$ et $\frac{x^{3}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{\frac{2 x^{3}}{2}}$

Étape 5.3.12

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.12.1

Réduisez l’expression $\frac{2 x^{3}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.12.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{\frac{2 x^{3}}{2}}$

Étape 5.3.12.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Étape 5.3.12.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Étape 5.3.13

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{2 x^{5} - 10}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}$