Algèbre Exemples

$\frac{4 x^{2} + 23 x + 15}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 15 = 60$ et dont la somme est $b = 23$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $23$ à partir de $23 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 23 (x) + 15}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $23$ comme $3$ plus $20$

$\frac{4 x^{2} + (3 + 20) x + 15}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 3 x + 20 x + 15}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(4 x^{2} + 3 x) + 20 x + 15}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (4 x + 3) + 5 (4 x + 3)}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x + 3$ .

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $16 x^{2}$ comme ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{{(4 x)}^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{{(4 x)}^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4 x$ et $b = 3$ .

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ et dont la somme est $b = 9$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 x$ .

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 (x) - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $9$ comme $- 3$ plus $12$

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{4 x^{2} + (- 3 + 12) x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{4 x^{2} - 3 x + 12 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x^{2} - 3 x) + 12 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{x (4 x - 3) + 3 (4 x - 3)}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x - 3$ .

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} + 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $2$ .

$- 3, 5$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{(x - 3) (x + 5)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x + 5$ à partir de $(4 x + 3) (x + 5)$ .

$\frac{(x + 5) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{(x - 3) (x + 5)}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x + 5$ à partir de $(x - 3) (x + 5)$ .

$\frac{(x + 5) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 3)}$

Étape 5.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 5) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 3)}$

Étape 5.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x + 3}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{x - 3}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $4 x - 3$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $4 x - 3$ à partir de $(4 x + 3) (4 x - 3)$ .

$\frac{4 x + 3}{(4 x - 3) (4 x + 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{x - 3}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x + 3}{(4 x - 3) (4 x + 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{x - 3}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x + 3}{4 x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x - 3}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{4 x + 3}{4 x + 3}$ par $\frac{x + 3}{x - 3}$ .

$\frac{(4 x + 3) (x + 3)}{(4 x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $4 x + 3$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4 x + 3) (x + 3)}{(4 x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 3}{x - 3}$