Algèbre Exemples

3 + \frac{x - 2}{x - 3} \leq 4

$3 + \frac{x - 2}{x - 3} \leq 4$

Étape 1

Soustrayez

4

$4$ des deux côtés de l’inégalité.

3 + \frac{x - 2}{x - 3} - 4 \leq 0

$3 + \frac{x - 2}{x - 3} - 4 \leq 0$

Étape 2

Simplifiez

3 + \frac{x - 2}{x - 3} - 4

$3 + \frac{x - 2}{x - 3} - 4$ .

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Étape 2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1.1

Écrivez

3

$3$ comme une fraction avec le dénominateur

1

$1$ .

\frac{3}{1} + \frac{x - 2}{x - 3} - 4 \leq 0

$\frac{3}{1} + \frac{x - 2}{x - 3} - 4 \leq 0$

Étape 2.1.2

Multipliez

\frac{3}{1}

$\frac{3}{1}$ par

\frac{x - 3}{x - 3}

$\frac{x - 3}{x - 3}$ .

\frac{3}{1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x - 2}{x - 3} - 4 \leq 0

$\frac{3}{1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x - 2}{x - 3} - 4 \leq 0$

Étape 2.1.3

Multipliez

\frac{3}{1}

$\frac{3}{1}$ par

\frac{x - 3}{x - 3}

$\frac{x - 3}{x - 3}$ .

\frac{3 (x - 3)}{x - 3} + \frac{x - 2}{x - 3} - 4 \leq 0

$\frac{3 (x - 3)}{x - 3} + \frac{x - 2}{x - 3} - 4 \leq 0$

Étape 2.1.4

Écrivez

- 4

$- 4$ comme une fraction avec le dénominateur

1

$1$ .

\frac{3 (x - 3)}{x - 3} + \frac{x - 2}{x - 3} + \frac{- 4}{1} \leq 0

$\frac{3 (x - 3)}{x - 3} + \frac{x - 2}{x - 3} + \frac{- 4}{1} \leq 0$

Étape 2.1.5

Multipliez

\frac{- 4}{1}

$\frac{- 4}{1}$ par

\frac{x - 3}{x - 3}

$\frac{x - 3}{x - 3}$ .

\frac{3 (x - 3)}{x - 3} + \frac{x - 2}{x - 3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} \leq 0

$\frac{3 (x - 3)}{x - 3} + \frac{x - 2}{x - 3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} \leq 0$

Étape 2.1.6

Multipliez

\frac{- 4}{1}

$\frac{- 4}{1}$ par

\frac{x - 3}{x - 3}

$\frac{x - 3}{x - 3}$ .

\frac{3 (x - 3)}{x - 3} + \frac{x - 2}{x - 3} + \frac{- 4 (x - 3)}{x - 3} \leq 0

$\frac{3 (x - 3)}{x - 3} + \frac{x - 2}{x - 3} + \frac{- 4 (x - 3)}{x - 3} \leq 0$

\frac{3 (x - 3)}{x - 3} + \frac{x - 2}{x - 3} + \frac{- 4 (x - 3)}{x - 3} \leq 0

$\frac{3 (x - 3)}{x - 3} + \frac{x - 2}{x - 3} + \frac{- 4 (x - 3)}{x - 3} \leq 0$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\frac{3 (x - 3) + x - 2 - 4 (x - 3)}{x - 3} \leq 0

$\frac{3 (x - 3) + x - 2 - 4 (x - 3)}{x - 3} \leq 0$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

\frac{3 x + 3 \cdot - 3 + x - 2 - 4 (x - 3)}{x - 3} \leq 0

$\frac{3 x + 3 \cdot - 3 + x - 2 - 4 (x - 3)}{x - 3} \leq 0$

Étape 2.3.2

Multipliez

3

$3$ par

- 3

$- 3$ .

\frac{3 x - 9 + x - 2 - 4 (x - 3)}{x - 3} \leq 0

$\frac{3 x - 9 + x - 2 - 4 (x - 3)}{x - 3} \leq 0$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

\frac{3 x - 9 + x - 2 - 4 x - 4 \cdot - 3}{x - 3} \leq 0

$\frac{3 x - 9 + x - 2 - 4 x - 4 \cdot - 3}{x - 3} \leq 0$

Étape 2.3.4

Multipliez

- 4

$- 4$ par

- 3

$- 3$ .

\frac{3 x - 9 + x - 2 - 4 x + 12}{x - 3} \leq 0

$\frac{3 x - 9 + x - 2 - 4 x + 12}{x - 3} \leq 0$

\frac{3 x - 9 + x - 2 - 4 x + 12}{x - 3} \leq 0

$\frac{3 x - 9 + x - 2 - 4 x + 12}{x - 3} \leq 0$

Étape 2.4

Additionnez

3 x

$3 x$ et

x

$x$ .

\frac{4 x - 9 - 2 - 4 x + 12}{x - 3} \leq 0

$\frac{4 x - 9 - 2 - 4 x + 12}{x - 3} \leq 0$

Étape 2.5

Associez les termes opposés dans

4 x - 9 - 2 - 4 x + 12

$4 x - 9 - 2 - 4 x + 12$ .

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Étape 2.5.1

Soustrayez

4 x

$4 x$ de

4 x

$4 x$ .

\frac{0 - 9 - 2 + 12}{x - 3} \leq 0

$\frac{0 - 9 - 2 + 12}{x - 3} \leq 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez

9

$9$ de

0

$0$ .

\frac{- 9 - 2 + 12}{x - 3} \leq 0

$\frac{- 9 - 2 + 12}{x - 3} \leq 0$

\frac{- 9 - 2 + 12}{x - 3} \leq 0

$\frac{- 9 - 2 + 12}{x - 3} \leq 0$

Étape 2.6

Soustrayez

2

$2$ de

- 9

$- 9$ .

\frac{- 11 + 12}{x - 3} \leq 0

$\frac{- 11 + 12}{x - 3} \leq 0$

Étape 2.7

Additionnez

- 11

$- 11$ et

12

$12$ .

\frac{1}{x - 3} \leq 0

$\frac{1}{x - 3} \leq 0$

\frac{1}{x - 3} \leq 0

$\frac{1}{x - 3} \leq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à

0

$0$ et en résolvant.

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Étape 4

Ajoutez

3

$3$ aux deux côtés de l’équation.

x = 3

$x = 3$

Étape 5

Déterminez le domaine de

\frac{1}{x - 3}

$\frac{1}{x - 3}$ .

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans

\frac{1}{x - 3}

$\frac{1}{x - 3}$ égal à

0

$0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez

3

$3$ aux deux côtés de l’équation.

x = 3

$x = 3$

Étape 5.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de

x

$x$ qui rendent l’expression définie.

(- \infty, 3) \cup (3, \infty)

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

(- \infty, 3) \cup (3, \infty)

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

x < 3

$x < 3$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

x < 3

$x < 3$

Notation d’intervalle :

(- \infty, 3)

$(- \infty, 3)$

Étape 8