Algèbre Exemples

$\frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{8})}^{x} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Étape 1

Simplifiez $\frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{8})}^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + \frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{8})}^{x} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1^{x}}{8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Étape 1.3

Associez.

$\frac{1 \cdot 1^{x}}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Étape 1.4

Multipliez $1$ par $1^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

$\frac{1^{1} \cdot 1^{x}}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Étape 1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1^{1 + x}}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Étape 1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Étape 1.6

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$\frac{1}{2^{4} \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Étape 1.6.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{1}{2^{4} \cdot {(2^{3})}^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Étape 1.6.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{4} \cdot 2^{3 x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Étape 1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Étape 2

Simplifiez ${(\frac{1}{4})}^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} \leq \frac{1^{x}}{4^{x}}$

Étape 2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} \leq \frac{1}{4^{x}}$

Étape 3

Soustrayez $\frac{1}{4^{x}}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} - \frac{1}{4^{x}} \leq 0$

Étape 4

Déplacez $- \frac{1}{4^{x}}$ du côté droit de l’équation en l’ajoutant des deux côtés.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} = \frac{1}{4^{x}}$

Étape 5

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (\frac{1}{2^{4 + 3 x}}) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Étape 6

Réécrivez $\ln (\frac{1}{2^{4 + 3 x}})$ comme $\ln (1) - \ln (2^{4 + 3 x})$ .

$\ln (1) - \ln (2^{4 + 3 x}) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Étape 7

Développez $\ln (2^{4 + 3 x})$ en déplaçant $4 + 3 x$ hors du logarithme.

$\ln (1) - ((4 + 3 x) \ln (2)) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Étape 8

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$0 - ((4 + 3 x) \ln (2)) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Étape 9

Soustrayez $(4 + 3 x) \ln (2)$ de $0$ .

$- ((4 + 3 x) \ln (2)) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Étape 10

Supprimez les parenthèses.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Étape 11

Réécrivez $\ln (\frac{1}{4^{x}})$ comme $\ln (1) - \ln (4^{x})$ .

$- (4 + 3 x) \ln (2) = \ln (1) - \ln (4^{x})$

Étape 12

Développez $\ln (4^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = \ln (1) - (x \ln (4))$

Étape 13

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- (4 + 3 x) \ln (2) = 0 - (x \ln (4))$

Étape 14

Soustrayez $x \ln (4)$ de $0$ .

$- (4 + 3 x) \ln (2) = - (x \ln (4))$

Étape 15

Supprimez les parenthèses.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Étape 16

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Simplifiez $- (4 + 3 x) \ln (2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 - (4 + 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Étape 16.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Étape 16.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- 1 \cdot 4 - (3 x)) \ln (2) = - x \ln (4)$

Étape 16.1.4

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$(- 4 - (3 x)) \ln (2) = - x \ln (4)$

Étape 16.1.4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$(- 4 - 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Étape 16.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 \ln (2) - 3 x \ln (2) = - x \ln (4)$

Étape 16.2

Ajoutez $x \ln (4)$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 \ln (2) - 3 x \ln (2) + x \ln (4) = 0$

Étape 16.3

Ajoutez $4 \ln (2)$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 x \ln (2) + x \ln (4) = 4 \ln (2)$

Étape 16.4

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x \ln (2) + x \ln (4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x \ln (2)$ .

$x (- 3 \ln (2)) + x \ln (4) = 4 \ln (2)$

Étape 16.4.2

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (4)$ .

$x (- 3 \ln (2)) + x (\ln (4)) = 4 \ln (2)$

Étape 16.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 3 \ln (2)) + x (\ln (4))$ .

$x (- 3 \ln (2) + \ln (4)) = 4 \ln (2)$

Étape 16.5

Divisez chaque terme dans $x (- 3 \ln (2) + \ln (4)) = 4 \ln (2)$ par $- 3 \ln (2) + \ln (4)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.5.1

Divisez chaque terme dans $x (- 3 \ln (2) + \ln (4)) = 4 \ln (2)$ par $- 3 \ln (2) + \ln (4)$ .

$\frac{x (- 3 \ln (2) + \ln (4))}{- 3 \ln (2) + \ln (4)} = \frac{4 \ln (2)}{- 3 \ln (2) + \ln (4)}$

Étape 16.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3 \ln (2) + \ln (4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- 3 \ln (2) + \ln (4))}{- 3 \ln (2) + \ln (4)} = \frac{4 \ln (2)}{- 3 \ln (2) + \ln (4)}$

Étape 16.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- 3 \ln (2) + \ln (4)}$

Étape 16.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.5.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 \ln (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- (3 \ln (2)) + \ln (4)}$

Étape 16.5.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (4)$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- (3 \ln (2)) - 1 (- \ln (4))}$

Étape 16.5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 \ln (2)) - 1 (- \ln (4))$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- (3 \ln (2) - \ln (4))}$

Étape 16.5.3.4

Réécrivez les nombres négatifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.5.3.4.1

Réécrivez $- (3 \ln (2) - \ln (4))$ comme $- 1 (3 \ln (2) - \ln (4))$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- 1 (3 \ln (2) - \ln (4))}$

Étape 16.5.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}$

Étape 17

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \geq - \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}$

Étape 18

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \geq - \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}$

Notation d’intervalle :

$[- \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}, \infty)$

Étape 19