Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x} - 1}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x} - 1}$ par $\frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x} + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x} - 1} \cdot \frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x} + 1}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x} - 1}$ par $\frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x} + 1}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{(2 \sqrt{x} - 1) (2 \sqrt{x} + 1)}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 {\sqrt{x}}^{2} + 2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} - 1}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1}$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}$

Étape 2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x^{\frac{2}{2}} - 1}$

Étape 2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x^{\frac{2}{2}} - 1}$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x^{1} - 1}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x - 1}$

Étape 3

Développez $(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{x} (2 \sqrt{x} + 1) + 3 (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x - 1}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{x} (2 \sqrt{x}) + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x - 1}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{x} (2 \sqrt{x}) + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $2 \sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Étape 4.1.2.1

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}) + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Étape 4.1.2.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}) + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Étape 4.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Étape 4.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Étape 4.1.3

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 4.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Étape 4.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Étape 4.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Étape 4.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Étape 4.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{1} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Étape 4.1.3.5

Simplifiez

$\frac{2 x + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Étape 4.1.4

Multipliez $\sqrt{x}$ par $1$ .

$\frac{2 x + \sqrt{x} + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Étape 4.1.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2 x + \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Étape 4.1.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{2 x + \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + 3}{4 x - 1}$

Étape 4.2

Additionnez $\sqrt{x}$ et $6 \sqrt{x}$ .

$\frac{2 x + 7 \sqrt{x} + 3}{4 x - 1}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x + 7 x^{\frac{1}{2}} + 3}{4 x - 1}$

Étape 5.2

Réécrivez $x$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 7 x^{\frac{1}{2}} + 3}{4 x - 1}$

Étape 5.3

Laissez $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$\frac{2 u^{2} + 7 u + 3}{4 x - 1}$

Étape 5.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ et dont la somme est $b = 7$ .

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Étape 5.4.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 u$ .

$\frac{2 u^{2} + 7 (u) + 3}{4 x - 1}$

Étape 5.4.1.2

Réécrivez $7$ comme $1$ plus $6$

$\frac{2 u^{2} + (1 + 6) u + 3}{4 x - 1}$

Étape 5.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 u^{2} + 1 u + 6 u + 3}{4 x - 1}$

Étape 5.4.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$\frac{2 u^{2} + u + 6 u + 3}{4 x - 1}$

Étape 5.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 u^{2} + u) + 6 u + 3}{4 x - 1}$

Étape 5.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{u (2 u + 1) + 3 (2 u + 1)}{4 x - 1}$

Étape 5.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 1$ .

$\frac{(2 u + 1) (u + 3)}{4 x - 1}$

Étape 5.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 3)}{4 x - 1}$