Algèbre Exemples

$\frac{2 x}{x^{2} - 49} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 7^{2}} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 7$ .

$\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 7) (x - 7) (x - 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)}$ par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{2 x (x - 4)}{(x + 7) (x - 7) (x - 4)} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$ par $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{2 x (x - 4)}{(x + 7) (x - 7) (x - 4)} - \frac{3 (x + 7)}{(x - 4) (x - 7) (x + 7)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 7) (x - 7) (x - 4)$ .

$\frac{2 x (x - 4)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)} - \frac{3 (x + 7)}{(x - 4) (x - 7) (x + 7)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(x - 4) (x - 7) (x + 7)$ .

$\frac{2 x (x - 4)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)} - \frac{3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x (x - 4) - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 4 - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Étape 6.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 3 x - 3 \cdot 7}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Étape 6.5

Multipliez $- 3$ par $7$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 3 x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Étape 6.6

Soustrayez $3 x$ de $- 8 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 11 x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Étape 6.7

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 21 = - 42$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 6.7.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 11 (x) - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Étape 6.7.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $3$ plus $- 14$

$\frac{2 x^{2} + (3 - 14) x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Étape 6.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 14 x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Étape 6.7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x^{2} + 3 x) - 14 x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Étape 6.7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (2 x + 3) - 7 (2 x + 3)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Étape 6.7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 3$ .

$\frac{(2 x + 3) (x - 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x - 7$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x + 3) (x - 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x + 3}{(x + 7) (x - 4)}$