Algèbre Exemples

$\frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} - 2 > 0$

Étape 1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’inégalité.

$\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2} > 2$

Étape 2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{2} > 2$

Étape 3

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{2} \cdot 2 > 2 \cdot 2$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{2} \cdot 2 > 2 \cdot 2$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

${(x - 2)}^{2} > 2 \cdot 2$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

${(x - 2)}^{2} > 4$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{{(x - 2)}^{2}} > \sqrt{4}$

Étape 5.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x - 2 | > \sqrt{4}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $\sqrt{4}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| x - 2 | > \sqrt{2^{2}}$

Étape 5.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x - 2 | > | 2 |$

Étape 5.2.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$| x - 2 | > 2$

Étape 5.3

Écrivez $| x - 2 | > 2$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 5.3.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x - 2 \geq 0$

Étape 5.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 2$

Étape 5.3.3

Dans la partie où $x - 2$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x - 2 > 2$

Étape 5.3.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x - 2 < 0$

Étape 5.3.5

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x < 2$

Étape 5.3.6

Dans la partie où $x - 2$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (x - 2) > 2$

Étape 5.3.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x - 2 > 2 & x \geq 2 \\ - (x - 2) > 2 & x < 2 \end{cases}$

Étape 5.3.8

Simplifiez $- (x - 2) > 2$ .

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Étape 5.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} x - 2 > 2 & x \geq 2 \\ - x - - 2 > 2 & x < 2 \end{cases}$

Étape 5.3.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

${\begin{cases} x - 2 > 2 & x \geq 2 \\ - x + 2 > 2 & x < 2 \end{cases}$

Étape 5.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 5.4.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x > 2 + 2$

Étape 5.4.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x > 4$

Étape 5.5

Résolvez $- x + 2 > 2$ pour $x$ .

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Étape 5.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 5.5.1.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x > 2 - 2$

Étape 5.5.1.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$- x > 0$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $- x > 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x > 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{0}{- 1}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{0}{- 1}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{0}{- 1}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x < 0$

Étape 5.6

Déterminez l’union des solutions.

$x < 0$ ou $x > 4$

Étape 6