Algèbre Exemples

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$ .

$x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4} - x^{3}$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{3} x - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$ .

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 21 \cdot 20 = - 420$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Multipliez par $1$ .

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + 1 x + 20 = 0$

Étape 1.2.2.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 20$ plus $21$

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + (- 20 + 21) x + 20 = 0$

Étape 1.2.2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} - 20 x + 21 x + 20 = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} - 20 x + 21 x + 20 = 0$

Étape 1.2.2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{3} (x - 1) + x (- 21 x - 20) - (- 21 x - 20) = 0$

Étape 1.2.2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 21 x - 20$ .

$x^{3} (x - 1) + (- 21 x - 20) (x - 1) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $x - 1$ à partir de $x^{3} (x - 1) + (- 21 x - 20) (x - 1)$ .

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Étape 1.2.2.3.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $x^{3} (x - 1)$ .

$(x - 1) x^{3} + (- 21 x - 20) (x - 1) = 0$

Étape 1.2.2.3.2

Factorisez $x - 1$ à partir de $(- 21 x - 20) (x - 1)$ .

$(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 21 x - 20) = 0$

Étape 1.2.2.3.3

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 21 x - 20)$ .

$(x - 1) (x^{3} - 21 x - 20) = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez.

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Étape 1.2.2.4.1

Réécrivez $x^{3} - 21 x - 20$ en forme factorisée.

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Étape 1.2.2.4.1.1

Factorisez $x^{3} - 21 x - 20$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.2.2.4.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Étape 1.2.2.4.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Étape 1.2.2.4.1.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.2.2.4.1.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{3} - 21 \cdot - 1 - 20$

Étape 1.2.2.4.1.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - 21 \cdot - 1 - 20$

Étape 1.2.2.4.1.1.3.3

Multipliez $- 21$ par $- 1$ .

$- 1 + 21 - 20$

Étape 1.2.2.4.1.1.3.4

Additionnez $- 1$ et $21$ .

$20 - 20$

Étape 1.2.2.4.1.1.3.5

Soustrayez $20$ de $20$ .

$0$

Étape 1.2.2.4.1.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 21 x - 20}{x + 1}$

Étape 1.2.2.4.1.1.5

Divisez $x^{3} - 21 x - 20$ par $x + 1$ .

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Étape 1.2.2.4.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$20$

Étape 1.2.2.4.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$

Étape 1.2.2.4.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 1.2.2.4.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 1.2.2.4.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Étape 1.2.2.4.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$

Étape 1.2.2.4.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$

Étape 1.2.2.4.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 1.2.2.4.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 1.2.2.4.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$

Étape 1.2.2.4.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$

Étape 1.2.2.4.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 20 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$

Étape 1.2.2.4.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	-	$20$

Étape 1.2.2.4.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 20 x - 20$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	+	$20$

Étape 1.2.2.4.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	+	$20$
										$0$

Étape 1.2.2.4.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - x - 20$

Étape 1.2.2.4.1.1.6

Écrivez $x^{3} - 21 x - 20$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - x - 20)) = 0$

Étape 1.2.2.4.1.2

Factorisez $x^{2} - x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.4.1.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.4.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 5, 4$

Étape 1.2.2.4.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 1) ((x + 1) ((x - 5) (x + 4))) = 0$

Étape 1.2.2.4.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) ((x + 1) (x - 5) (x + 4)) = 0$

Étape 1.2.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (x + 1) (x - 5) (x + 4) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.6

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 1.2.6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 1.2.7

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.7.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 1.2.7.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 1.2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x + 1) (x - 5) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 1, - 1, 5, - 4$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(1, 0), (- 1, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Étape 2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 21 \cdot 0^{2} + 0 + 20$

Étape 2.2.5

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Étape 2.2.6

Simplifiez ${(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$ .

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Étape 2.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.6.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Étape 2.2.6.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 0 - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Étape 2.2.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Étape 2.2.6.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 0 - 21 \cdot 0 + 0 + 20$

Étape 2.2.6.1.5

Multipliez $- 21$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 20$

Étape 2.2.6.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.6.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 20$

Étape 2.2.6.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 20$

Étape 2.2.6.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 20$

Étape 2.2.6.2.4

Additionnez $0$ et $20$ .

$y = 20$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 20)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(1, 0), (- 1, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 20)$

Étape 4