Algèbre Exemples

$\frac{x - 1}{x^{2} - 2 x - 3} + \frac{5}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x - 1}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{5}{2 x^{2} + 2 x}$

Étape 1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2} + 2 x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{x - 1}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{5}{2 x (x) + 2 x}$

Étape 1.2.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x - 1}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{5}{2 x (x) + 2 x (1)}$

Étape 1.2.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x) + 2 x (1)$ .

$\frac{x - 1}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{5}{2 x (x + 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x - 1}{(x - 3) (x + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{x - 1}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{2 x}{2 x} + \frac{5}{2 x (x + 1)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{5}{2 x (x + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 1}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{2 x}{2 x} + \frac{5}{2 x (x + 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 3) (x + 1) \cdot 2 x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x - 1}{(x - 3) (x + 1)}$ par $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x)}{(x - 3) (x + 1) (2 x)} + \frac{5}{2 x (x + 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{5}{2 x (x + 1)}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x)}{(x - 3) (x + 1) (2 x)} + \frac{5 (x - 3)}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x + 1) (2 x)$ .

$\frac{(x - 1) (2 x)}{2 x (x + 1) (x - 3)} + \frac{5 (x - 3)}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 1) (2 x) + 5 (x - 3)}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x \cdot 2 - 1 \cdot 2) x + 5 (x - 3)}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Étape 6.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{(2 \cdot x - 1 \cdot 2) x + 5 (x - 3)}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(2 \cdot x - 2) x + 5 (x - 3)}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x - 2 x + 5 (x - 3)}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Étape 6.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) - 2 x + 5 (x - 3)}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Étape 6.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 5 (x - 3)}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 5 x + 5 \cdot - 3}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Étape 6.7

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 5 x - 15}{2 x (x + 1) (x - 3)}$

Étape 6.8

Additionnez $- 2 x$ et $5 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 15}{2 x (x + 1) (x - 3)}$