Algèbre Exemples

$y = 2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$

Étape 1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4}$ .

$y = 2 (x^{4}) + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $8 x^{3}$ .

$y = 2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 4 x^{2} - 8 x - 6$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$y = 2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) - 8 x - 6$

Étape 1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x$ .

$y = 2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) - 6$

Étape 1.5

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$y = 2 x^{4} + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3$

Étape 1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4} + 2 (4 x^{3})$ .

$y = 2 (x^{4} + 4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3$

Étape 1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{4} + 4 x^{3}) + 2 (2 x^{2})$ .

$y = 2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3$

Étape 1.8

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ .

$y = 2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 3$

Étape 1.9

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 3$ .

$y = 2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 3)$

Étape 2

Regroupez les termes.

$y = 2 (4 x^{3} - 4 x + x^{4} + 2 x^{2} - 3)$

Étape 3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 4 x$ .

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Étape 3.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$y = 2 (4 x (x^{2}) - 4 x + x^{4} + 2 x^{2} - 3)$

Étape 3.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x$ .

$y = 2 (4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3)$

Étape 3.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ .

$y = 2 (4 x (x^{2} - 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3)$

Étape 4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = 2 (4 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} + 2 x^{2} - 3)$

Étape 5

Factorisez.

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Étape 5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$y = 2 (4 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} + 2 x^{2} - 3)$

Étape 5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y = 2 (4 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3)$

Étape 6

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$y = 2 (4 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 3)$

Étape 7

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$y = 2 (4 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} + 2 u - 3)$

Étape 8

Factorisez $u^{2} + 2 u - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 8.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$y = 2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (u + 3))$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$y = 2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (x^{2} + 3))$

Étape 10

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = 2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 3))$

Étape 11

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$y = 2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3))$

Étape 12

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $4 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ .

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Étape 12.1

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $4 x (x + 1) (x - 1)$ .

$y = 2 ((x + 1) (x - 1) (4 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3))$

Étape 12.2

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $(x + 1) (x - 1) (4 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ .

$y = 2 ((x + 1) (x - 1) (4 x + x^{2} + 3))$

Étape 13

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$y = 2 ((x + 1) (x - 1) (4 u + u^{2} + 3))$

Étape 14

Factorisez $4 u + u^{2} + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 14.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 14.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$y = 2 ((x + 1) (x - 1) ((u + 1) (u + 3)))$

Étape 15

Factorisez.

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Étape 15.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$y = 2 ((x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x + 3)))$

Étape 15.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y = 2 ((x + 1) (x - 1) (x + 1) (x + 3))$

Étape 16

Factorisez.

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Étape 16.1

Associez les exposants.

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Étape 16.1.1

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$y = 2 ({(x + 1)}^{1} (x + 1) (x - 1) (x + 3))$

Étape 16.1.2

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$y = 2 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1} (x - 1) (x + 3))$

Étape 16.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = 2 ({(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1) (x + 3))$

Étape 16.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = 2 ({(x + 1)}^{2} (x - 1) (x + 3))$

Étape 16.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y = 2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (x + 3)$