Algèbre Exemples

${(\frac{1}{27})}^{x^{2}} = 9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln ({(\frac{1}{27})}^{x^{2}}) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Étape 2

Développez $\ln ({(\frac{1}{27})}^{x^{2}})$ en déplaçant $x^{2}$ hors du logarithme.

$x^{2} \ln (\frac{1}{27}) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{1}{27})$ comme $\ln (1) - \ln (27)$ .

$x^{2} (\ln (1) - \ln (27)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Étape 4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x^{2} (0 - \ln (27)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Étape 5

Réécrivez $\ln (27)$ comme $\ln (3^{3})$ .

$x^{2} (0 - \ln (3^{3})) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Étape 6

Développez $\ln (3^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$x^{2} (0 - (3 \ln (3))) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Étape 7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x^{2} (0 - 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Étape 8

Soustrayez $3 \ln (3)$ de $0$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Étape 9

Réécrivez $\ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ comme $\ln (9^{3 x + 8}) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8}) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Étape 10

Développez $\ln (9^{3 x + 8})$ en déplaçant $3 x + 8$ hors du logarithme.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Étape 11

Développez $\ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ en déplaçant $x^{2}$ hors du logarithme.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} \ln (\frac{1}{81})$

Étape 12

Réécrivez $\ln (\frac{1}{81})$ comme $\ln (1) - \ln (81)$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (\ln (1) - \ln (81))$

Étape 13

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - \ln (81))$

Étape 14

Réécrivez $\ln (81)$ comme $\ln (3^{4})$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - \ln (3^{4}))$

Étape 15

Développez $\ln (3^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - (4 \ln (3)))$

Étape 16

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - 4 \ln (3))$

Étape 17

Soustrayez $4 \ln (3)$ de $0$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Étape 18

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 18.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 18.1.1

Simplifiez $x^{2} (- 3 \ln (3))$ .

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Étape 18.1.1.1

Simplifiez $- 3 \ln (3)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$x^{2} (- \ln (3^{3})) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Étape 18.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$x^{2} (- \ln (27)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Étape 18.1.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{2} (- \ln (27))$ .

$- x^{2} \ln (27) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Étape 18.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 18.2.1

Simplifiez $(3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$ .

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Étape 18.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} \ln (27) = 3 x \ln (9) + 8 \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Étape 18.2.1.1.2

Simplifiez $3 \ln (9)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (9^{3}) + 8 \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Étape 18.2.1.1.3

Simplifiez $8 \ln (9)$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (9^{3}) + \ln (9^{8}) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Étape 18.2.1.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.2.1.1.4.1

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (9^{8}) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Étape 18.2.1.1.4.2

Élevez $9$ à la puissance $8$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Étape 18.2.1.1.5

Simplifiez $- 4 \ln (3)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (3^{4}))$

Étape 18.2.1.1.6

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (81))$

Étape 18.2.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (81))$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) - x^{2} \ln (81)$

Étape 18.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- x^{2} \ln (27) - x \ln (729) - \ln (43046721) + x^{2} \ln (81) = 0$

Étape 18.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 18.5

Remplacez les valeurs $a = - \ln (27) + \ln (81)$ , $b = - \ln (729)$ et $c = - \ln (43046721)$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{\ln (729) \pm \sqrt{{(- \ln (729))}^{2} - 4 \cdot ((- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- \ln (43046721)))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Étape 18.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} \ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Étape 18.6.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{1 \ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Étape 18.6.3

Multipliez $\ln^{2} (729)$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Étape 18.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 (- \ln (27)) - 4 \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Étape 18.6.5

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (4 \ln (27) - 4 \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Étape 18.6.6

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (4 \ln (27) \cdot - 1 - 4 \ln (81) \cdot - 1) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Étape 18.6.7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 \ln (27) - 4 \ln (81) \cdot - 1) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Étape 18.6.8

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 \ln (27) + 4 \ln (81)) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Étape 18.6.9

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Étape 18.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{\ln (729) + \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (\ln (27) - \ln (81))}, - \frac{\ln (729) - \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (\ln (27) - \ln (81))}$

Étape 19

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

Forme décimale :

$x = 8, - 2$