Algèbre Exemples

$\frac{1}{2} y^{2} = x$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x = \frac{1}{2} y^{2}$ .

$x = \frac{1}{2} y^{2}$

Étape 2

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{2}$

Étape 3

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 3.1.1

Complétez le carré pour $\frac{y^{2}}{2}$ .

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Étape 3.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 0$

$c = 0$

Étape 3.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 3.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 3.1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 3.1.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.1.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 3.1.1.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{0}{\frac{1}{2}}$

Étape 3.1.1.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 0 \cdot 2$

Étape 3.1.1.3.2.3

Multipliez $0$ par $2$ .

$d = 0$

Étape 3.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 3.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 3.1.1.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{2}}$

Étape 3.1.1.4.2.1.3

Divisez $4$ par $2$ .

$e = 0 - \frac{0}{2}$

Étape 3.1.1.4.2.1.4

Divisez $0$ par $2$ .

$e = 0 - 0$

Étape 3.1.1.4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e = 0 + 0$

Étape 3.1.1.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$e = 0$

Étape 3.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}$

Étape 3.1.2

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = \frac{1}{2} y^{2}$

Étape 3.2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 0$

$k = 0$

Étape 3.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers la droite.

ouvre vers la droite

Étape 3.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Étape 3.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 3.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 3.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 3.5.3

Simplifiez

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Étape 3.5.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Étape 3.5.3.2

Divisez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 3.6

Déterminez le foyer.

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Étape 3.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 3.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{1}{2}, 0)$

Étape 3.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = 0$

Étape 3.8

Déterminez la directrice.

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Étape 3.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 3.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 3.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(0, 0)$

Foyer : $(\frac{1}{2}, 0)$

Axe de symétrie : $y = 0$

Directrice : $x = - \frac{1}{2}$

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(0, 0)$

Foyer : $(\frac{1}{2}, 0)$

Axe de symétrie : $y = 0$

Directrice : $x = - \frac{1}{2}$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = \sqrt{2 x}$ . Dans ce cas, le point est $(1, 1.41421356)$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \sqrt{2 (1)}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (1) = \sqrt{2}$

Étape 4.1.2.2

La réponse finale est $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Étape 4.1.3

Convertissez $\sqrt{2}$ en décimale.

$= 1.41421356$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = - \sqrt{2 x}$ . Dans ce cas, le point est $(1, - 1.41421356)$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - \sqrt{2 (1)}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (1) = - \sqrt{2}$

Étape 4.2.2.2

La réponse finale est $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Étape 4.2.3

Convertissez $- \sqrt{2}$ en décimale.

$= - 1.41421356$

Étape 4.3

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = \sqrt{2 x}$ . Dans ce cas, le point est $(2, 2)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \sqrt{2 (2)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (2) = \sqrt{4}$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (2) = \sqrt{2^{2}}$

Étape 4.3.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (2) = 2$

Étape 4.3.2.4

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 4.3.3

Convertissez $2$ en décimale.

$= 2$

Étape 4.4

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = - \sqrt{2 x}$ . Dans ce cas, le point est $(2, - 2)$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = - \sqrt{2 (2)}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.4.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (2) = - \sqrt{4}$

Étape 4.4.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (2) = - \sqrt{2^{2}}$

Étape 4.4.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (2) = - 1 \cdot 2$

Étape 4.4.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (2) = - 2$

Étape 4.4.2.5

La réponse finale est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 4.4.3

Convertissez $- 2$ en décimale.

$= - 2$

Étape 4.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 1.41 \\ 1 & - 1.41 \\ 2 & 2 \\ 2 & - 2 \end{array}$

Étape 5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(0, 0)$

Foyer : $(\frac{1}{2}, 0)$

Axe de symétrie : $y = 0$

Directrice : $x = - \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 1.41 \\ 1 & - 1.41 \\ 2 & 2 \\ 2 & - 2 \end{array}$

Étape 6