Algèbre Exemples

$z^{2} - \frac{3}{4} z = - 80$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Associez $z$ et $\frac{3}{4}$ .

$z^{2} - \frac{z \cdot 3}{4} = - 80$

Étape 1.2

Déplacez $3$ à gauche de $z$ .

$z^{2} - \frac{3 z}{4} = - 80$

Étape 2

Ajoutez $80$ aux deux côtés de l’équation.

$z^{2} - \frac{3 z}{4} + 80 = 0$

Étape 3

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $4$ , puis simplifiez.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 z^{2} + 4 (- \frac{3 z}{4}) + 4 \cdot 80 = 0$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 z}{4}$ dans le numérateur.

$4 z^{2} + 4 (\frac{- 3 z}{4}) + 4 \cdot 80 = 0$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$4 z^{2} + 4 (\frac{- 3 z}{4}) + 4 \cdot 80 = 0$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$4 z^{2} - 3 z + 4 \cdot 80 = 0$

Étape 3.2.2

Multipliez $4$ par $80$ .

$4 z^{2} - 3 z + 320 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 3$ et $c = 320$ dans la formule quadratique et résolvez pour $z$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 320)}}{2 \cdot 4}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 320}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 320$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 320}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $320$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 5120}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $5120$ de $9$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{- 5111}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- 5111$ comme $- 1 (5111)$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 5111}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (5111)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5111}$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5111}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$z = \frac{3 \pm i \sqrt{5111}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$z = \frac{3 \pm i \sqrt{5111}}{8}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$z = \frac{3 + i \sqrt{5111}}{8}, \frac{3 - i \sqrt{5111}}{8}$