Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{y} - \sqrt{z}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{y} - \sqrt{z}}$ par $\frac{\sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{y} + \sqrt{z}}$ .

$\frac{\sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{y} - \sqrt{z}} \cdot \frac{\sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{y} + \sqrt{z}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{y} - \sqrt{z}}$ par $\frac{\sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{y} + \sqrt{z}}$ .

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{(\sqrt{y} - \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}$

Étape 3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{{\sqrt{y}}^{2} + \sqrt{y z} - \sqrt{y z} - {\sqrt{z}}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{z}}^{2}}$

Étape 4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{z}}^{2}}$

Étape 4.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{z}}^{2}}$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{z}}^{2}}$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y^{1} - {\sqrt{z}}^{2}}$

Étape 4.1.5

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - {\sqrt{z}}^{2}}$

Étape 4.2

Réécrivez ${\sqrt{z}}^{2}$ comme $z$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{z}$ comme $z^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - {(z^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - z^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - z^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - z^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - z^{1}}$

Étape 4.2.5

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - z}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Élevez $\sqrt{y} + \sqrt{z}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{y} + \sqrt{z})}^{1} (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - z}$

Étape 5.2

Élevez $\sqrt{y} + \sqrt{z}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{y} + \sqrt{z})}^{1} {(\sqrt{y} + \sqrt{z})}^{1}}{y - z}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{y} + \sqrt{z})}^{1 + 1}}{y - z}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{y} + \sqrt{z})}^{2}}{y - z}$

Étape 6

Réécrivez ${(\sqrt{y} + \sqrt{z})}^{2}$ comme $(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})$ .

$\frac{(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - z}$

Étape 7

Développez $(\sqrt{y} + \sqrt{z}) (\sqrt{y} + \sqrt{z})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{y} (\sqrt{y} + \sqrt{z}) + \sqrt{z} (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - z}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{y} \sqrt{y} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} (\sqrt{y} + \sqrt{z})}{y - z}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{y} \sqrt{y} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Étape 8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Multipliez $\sqrt{y} \sqrt{y}$ .

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Étape 8.1.1.1

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Étape 8.1.1.2

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Étape 8.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt{y}}^{1 + 1} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Étape 8.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sqrt{y}}^{2} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Étape 8.1.2

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 8.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Étape 8.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Étape 8.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{y^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Étape 8.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Étape 8.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{1} + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Étape 8.1.2.5

Simplifiez

$\frac{y + \sqrt{y} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Étape 8.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z} \sqrt{y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Étape 8.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{y - z}$

Étape 8.1.5

Multipliez $\sqrt{z} \sqrt{z}$ .

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Étape 8.1.5.1

Élevez $\sqrt{z}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + {\sqrt{z}}^{1} \sqrt{z}}{y - z}$

Étape 8.1.5.2

Élevez $\sqrt{z}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + {\sqrt{z}}^{1} {\sqrt{z}}^{1}}{y - z}$

Étape 8.1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + {\sqrt{z}}^{1 + 1}}{y - z}$

Étape 8.1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + {\sqrt{z}}^{2}}{y - z}$

Étape 8.1.6

Réécrivez ${\sqrt{z}}^{2}$ comme $z$ .

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Étape 8.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{z}$ comme $z^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + {(z^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y - z}$

Étape 8.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + z^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y - z}$

Étape 8.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + z^{\frac{2}{2}}}{y - z}$

Étape 8.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + z^{\frac{2}{2}}}{y - z}$

Étape 8.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + z^{1}}{y - z}$

Étape 8.1.6.5

Simplifiez

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{z y} + z}{y - z}$

Étape 8.2

Additionnez $\sqrt{y z}$ et $\sqrt{z y}$ .

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Étape 8.2.1

Remettez dans l’ordre $z$ et $y$ .

$\frac{y + \sqrt{y z} + \sqrt{y z} + z}{y - z}$

Étape 8.2.2

Additionnez $\sqrt{y z}$ et $\sqrt{y z}$ .

$\frac{y + 2 \sqrt{y z} + z}{y - z}$