Algèbre Exemples

$20 > \frac{2}{3} | 6 + x | + 6$

Étape 1

Réécrivez de sorte que $x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$\frac{2}{3} \cdot | 6 + x | + 6 < 20$

Étape 2

Écrivez $\frac{2}{3} \cdot | 6 + x | + 6 < 20$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$6 + x \geq 0$

Étape 2.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 6$

Étape 2.3

Dans la partie où $6 + x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$\frac{2}{3} \cdot (6 + x) + 6 < 20$

Étape 2.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$6 + x < 0$

Étape 2.5

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’inégalité.

$x < - 6$

Étape 2.6

Dans la partie où $6 + x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20$

Étape 2.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} \frac{2}{3} \cdot (6 + x) + 6 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Étape 2.8

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot (6 + x) + 6 < 20$ .

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} \frac{2}{3} \cdot 6 + \frac{2}{3} x + 6 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Étape 2.8.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.8.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

${\begin{cases} \frac{2}{3} \cdot (3 (2)) + \frac{2}{3} x + 6 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Étape 2.8.1.2.2

Annulez le facteur commun.

${\begin{cases} \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2) + \frac{2}{3} x + 6 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Étape 2.8.1.2.3

Réécrivez l’expression.

${\begin{cases} 2 \cdot 2 + \frac{2}{3} x + 6 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Étape 2.8.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

${\begin{cases} 4 + \frac{2}{3} x + 6 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Étape 2.8.1.4

Associez $\frac{2}{3}$ et $x$ .

${\begin{cases} 4 + \frac{2 x}{3} + 6 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Étape 2.8.2

Additionnez $4$ et $6$ .

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Étape 2.9

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot (- (6 + x)) + 6 < 20$ .

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Étape 2.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- 1 \cdot 6 - x) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Étape 2.9.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (- 6 - x) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Étape 2.9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot - 6 + \frac{2}{3} (- x) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Étape 2.9.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.9.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (3 (- 2)) + \frac{2}{3} (- x) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Étape 2.9.1.4.2

Annulez le facteur commun.

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot - 2) + \frac{2}{3} (- x) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Étape 2.9.1.4.3

Réécrivez l’expression.

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ 2 \cdot - 2 + \frac{2}{3} (- x) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Étape 2.9.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ - 4 + \frac{2}{3} (- x) + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Étape 2.9.1.6

Associez $\frac{2}{3}$ et $x$ .

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ - 4 - \frac{2 x}{3} + 6 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Étape 2.9.2

Additionnez $- 4$ et $6$ .

${\begin{cases} \frac{2 x}{3} + 10 < 20 & x \geq - 6 \\ - \frac{2 x}{3} + 2 < 20 & x < - 6 \end{cases}$

Étape 3

Résolvez $\frac{2 x}{3} + 10 < 20$ quand $x \geq - 6$ .

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Étape 3.1

Résolvez $\frac{2 x}{3} + 10 < 20$ pour $x$ .

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Étape 3.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 3.1.1.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{2 x}{3} < 20 - 10$

Étape 3.1.1.2

Soustrayez $10$ de $20$ .

$\frac{2 x}{3} < 10$

Étape 3.1.2

Multipliez les deux côtés par $3$ .

$\frac{2 x}{3} \cdot 3 < 10 \cdot 3$

Étape 3.1.3

Simplifiez

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{3} \cdot 3 < 10 \cdot 3$

Étape 3.1.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 x < 10 \cdot 3$

Étape 3.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.2.1

Multipliez $10$ par $3$ .

$2 x < 30$

Étape 3.1.4

Divisez chaque terme dans $2 x < 30$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x < 30$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{30}{2}$

Étape 3.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} < \frac{30}{2}$

Étape 3.1.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{30}{2}$

Étape 3.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.4.3.1

Divisez $30$ par $2$ .

$x < 15$

Étape 3.2

Déterminez l’intersection de $x < 15$ et $x \geq - 6$ .

$- 6 \leq x < 15$

Étape 4

Résolvez $- \frac{2 x}{3} + 2 < 20$ quand $x < - 6$ .

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Étape 4.1

Résolvez $- \frac{2 x}{3} + 2 < 20$ pour $x$ .

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Étape 4.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 4.1.1.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$- \frac{2 x}{3} < 20 - 2$

Étape 4.1.1.2

Soustrayez $2$ de $20$ .

$- \frac{2 x}{3} < 18$

Étape 4.1.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{2 x}{3} < 18$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{2 x}{3} < 18$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- \frac{2 x}{3}}{- 1} > \frac{18}{- 1}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{2 x}{3}}{1} > \frac{18}{- 1}$

Étape 4.1.2.2.2

Divisez $\frac{2 x}{3}$ par $1$ .

$\frac{2 x}{3} > \frac{18}{- 1}$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.2.3.1

Divisez $18$ par $- 1$ .

$\frac{2 x}{3} > - 18$

Étape 4.1.3

Multipliez les deux côtés par $3$ .

$\frac{2 x}{3} \cdot 3 > - 18 \cdot 3$

Étape 4.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{3} \cdot 3 > - 18 \cdot 3$

Étape 4.1.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 x > - 18 \cdot 3$

Étape 4.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.2.1

Multipliez $- 18$ par $3$ .

$2 x > - 54$

Étape 4.1.5

Divisez chaque terme dans $2 x > - 54$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1.5.1

Divisez chaque terme dans $2 x > - 54$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{- 54}{2}$

Étape 4.1.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} > \frac{- 54}{2}$

Étape 4.1.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{- 54}{2}$

Étape 4.1.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.5.3.1

Divisez $- 54$ par $2$ .

$x > - 27$

Étape 4.2

Déterminez l’intersection de $x > - 27$ et $x < - 6$ .

$- 27 < x < - 6$

Étape 5

Déterminez l’union des solutions.

$- 27 < x < 15$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 27 < x < 15$

Notation d’intervalle :

$(- 27, 15)$

Étape 7