Algèbre Exemples

$\frac{3 x^{2} - 192}{64 - x^{2}} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 64} \div \frac{x + 10}{x^{2} + 18 x + 80}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{3 x^{2} - 192}{64 - x^{2}} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 64} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 192$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) - 192}{64 - x^{2}} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 64} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 192$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot - 64}{64 - x^{2}} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 64} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 \cdot - 64$ .

$\frac{3 (x^{2} - 64)}{64 - x^{2}} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 64} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 2.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} - 8^{2})}{64 - x^{2}} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 64} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 8$ .

$\frac{3 (x + 8) (x - 8)}{64 - x^{2}} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 64} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{3 (x + 8) (x - 8)}{8^{2} - x^{2}} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 64} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 8$ et $b = x$ .

$\frac{3 (x + 8) (x - 8)}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 64} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{3 (x + 8) (x - 8)}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{4}{x^{2} + 16 x + 8^{2}} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Étape 4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{3 (x + 8) (x - 8)}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{4}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2}} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 8$ .

$\frac{3 (x + 8) (x - 8)}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{4}{{(x + 8)}^{2}} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez.

$\frac{3 (x + 8) (x - 8) \cdot 4}{(8 + x) (8 - x) {(x + 8)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $x + 8$ et ${(x + 8)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x + 8$ à partir de $3 (x + 8) (x - 8) \cdot 4$ .

$\frac{(x + 8) ((3 (x - 8)) \cdot 4)}{(8 + x) (8 - x) {(x + 8)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x + 8$ à partir de $(8 + x) (8 - x) {(x + 8)}^{2}$ .

$\frac{(x + 8) ((3 (x - 8)) \cdot 4)}{(x + 8) ((8 + x) (8 - x) (x + 8))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 8) ((3 (x - 8)) \cdot 4)}{(x + 8) ((8 + x) (8 - x) (x + 8))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(3 (x - 8)) \cdot 4}{(8 + x) (8 - x) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun à $x - 8$ et $8 - x$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{3 (- 1 (- x) - 8) \cdot 4}{(8 + x) (8 - x) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 5.3.2

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$\frac{3 (- 1 (- x) - 1 (8)) \cdot 4}{(8 + x) (8 - x) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (8)$ .

$\frac{3 (- 1 (- x + 8)) \cdot 4}{(8 + x) (8 - x) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 5.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 (- 1 (- x + 8)) \cdot 4}{(8 + x) (- x + 8) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 1 (- x + 8)) \cdot 4}{(8 + x) (- x + 8) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 5.3.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot (- 1) \cdot 4}{(8 + x) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 \cdot 4}{(8 + x) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 6.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{- 12}{(8 + x) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 12}{(x + 8) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 7.2

Élevez $x + 8$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 12}{{(x + 8)}^{1} (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 7.3

Élevez $x + 8$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 12}{{(x + 8)}^{1} {(x + 8)}^{1}} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 12}{{(x + 8)}^{1 + 1}} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 12}{{(x + 8)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12}{{(x + 8)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x + 10}$

Étape 9

Factorisez $x^{2} + 18 x + 80$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $80$ et dont la somme est $18$ .

$8, 10$

Étape 9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- \frac{12}{{(x + 8)}^{2}} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x + 10}$

Étape 10

Simplifiez les termes.

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun de $x + 8$ .

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Étape 10.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{12}{{(x + 8)}^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 12}{{(x + 8)}^{2}} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x + 10}$

Étape 10.1.2

Factorisez $x + 8$ à partir de ${(x + 8)}^{2}$ .

$\frac{- 12}{(x + 8) (x + 8)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x + 10}$

Étape 10.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 12}{(x + 8) (x + 8)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x + 10}$

Étape 10.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 12}{x + 8} \cdot \frac{x + 10}{x + 10}$

Étape 10.2

Multipliez $\frac{- 12}{x + 8}$ par $\frac{x + 10}{x + 10}$ .

$\frac{- 12 (x + 10)}{(x + 8) (x + 10)}$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $x + 10$ .

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Étape 10.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 12 (x + 10)}{(x + 8) (x + 10)}$

Étape 10.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 12}{x + 8}$

Étape 10.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12}{x + 8}$