Algèbre Exemples

$f (x) = 9^{6 (x + 2)}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 9^{6 (x + 2)}$ comme une équation.

$y = 9^{6 (x + 2)}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 9^{6 (y + 2)}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $9^{6 (y + 2)} = x$ .

$9^{6 (y + 2)} = x$

Étape 3.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (9^{6 (y + 2)}) = \ln (x)$

Étape 3.3

Développez $\ln (9^{6 (y + 2)})$ en déplaçant $6 (y + 2)$ hors du logarithme.

$6 (y + 2) \ln (9) = \ln (x)$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Simplifiez $6 (y + 2) \ln (9)$ .

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Étape 3.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(6 y + 6 \cdot 2) \ln (9) = \ln (x)$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$(6 y + 12) \ln (9) = \ln (x)$

Étape 3.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 y \ln (9) + 12 \ln (9) = \ln (x)$

Étape 3.5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$6 y \ln (9) + 12 \ln (9) - \ln (x) = 0$

Étape 3.6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.6.1

Soustrayez $12 \ln (9)$ des deux côtés de l’équation.

$6 y \ln (9) - \ln (x) = - 12 \ln (9)$

Étape 3.6.2

Ajoutez $\ln (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$6 y \ln (9) = - 12 \ln (9) + \ln (x)$

Étape 3.7

Divisez chaque terme dans $6 y \ln (9) = - 12 \ln (9) + \ln (x)$ par $6 \ln (9)$ et simplifiez.

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Étape 3.7.1

Divisez chaque terme dans $6 y \ln (9) = - 12 \ln (9) + \ln (x)$ par $6 \ln (9)$ .

$\frac{6 y \ln (9)}{6 \ln (9)} = \frac{- 12 \ln (9)}{6 \ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Étape 3.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y \ln (9)}{6 \ln (9)} = \frac{- 12 \ln (9)}{6 \ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Étape 3.7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \ln (9)}{\ln (9)} = \frac{- 12 \ln (9)}{6 \ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Étape 3.7.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (9)$ .

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Étape 3.7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (9)}{\ln (9)} = \frac{- 12 \ln (9)}{6 \ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Étape 3.7.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 12 \ln (9)}{6 \ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Étape 3.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $6$ .

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Étape 3.7.3.1.1.1

Factorisez $6$ à partir de $- 12 \ln (9)$ .

$y = \frac{6 (- 2 \ln (9))}{6 \ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Étape 3.7.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.3.1.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 \ln (9)$ .

$y = \frac{6 (- 2 \ln (9))}{6 \ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Étape 3.7.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{6 (- 2 \ln (9))}{6 \ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Étape 3.7.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 2 \ln (9)}{\ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Étape 3.7.3.1.2

Annulez le facteur commun de $\ln (9)$ .

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Étape 3.7.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 2 \ln (9)}{\ln (9)} + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Étape 3.7.3.1.2.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$y = - 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$ est l’inverse de $f (x) = 9^{6 (x + 2)}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} \cdot 9^{6 (x + 2)}$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 9^{6 (x + 2)} = - 2 + \frac{\ln (9^{6 (x + 2)})}{6 \ln (9)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Développez $\ln (9^{6 (x + 2)})$ en déplaçant $6 (x + 2)$ hors du logarithme.

$f^{- 1} \cdot 9^{6 (x + 2)} = - 2 + \frac{6 (x + 2) \ln (9)}{6 \ln (9)}$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} \cdot 9^{6 (x + 2)} = - 2 + \frac{6 (x + 2) \ln (9)}{6 \ln (9)}$

Étape 5.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} \cdot 9^{6 (x + 2)} = - 2 + \frac{(x + 2) \ln (9)}{\ln (9)}$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun de $\ln (9)$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} \cdot 9^{6 (x + 2)} = - 2 + \frac{(x + 2) \ln (9)}{\ln (9)}$

Étape 5.2.3.3.2

Divisez $x + 2$ par $1$ .

$f^{- 1} \cdot 9^{6 (x + 2)} = - 2 + x + 2$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $- 2 + x + 2$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} \cdot 9^{6 (x + 2)} = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} \cdot 9^{6 (x + 2)} = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}) = 9^{6 ((- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}) + 2)}$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $(- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}) + 2$ .

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}) = 9^{6 (0 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)})}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $0$ et $\frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$ .

$f (- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}) = 9^{6 (\frac{\ln (x)}{6 \ln (9)})}$

Étape 5.3.4

Simplifiez $6 \ln (9)$ en déplaçant $6$ dans le logarithme.

$f (- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}) = 9^{6 (\frac{\ln (x)}{\ln (9^{6})})}$

Étape 5.3.5

Élevez $9$ à la puissance $6$ .

$f (- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}) = 9^{6 (\frac{\ln (x)}{\ln (531441)})}$

Étape 5.3.6

Multipliez $6 \frac{\ln (x)}{\ln (531441)}$ .

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Étape 5.3.6.1

Associez $6$ et $\frac{\ln (x)}{\ln (531441)}$ .

$f (- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}) = 9^{\frac{6 \ln (x)}{\ln (531441)}}$

Étape 5.3.6.2

Simplifiez $6 \ln (x)$ en déplaçant $6$ dans le logarithme.

$f (- 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}) = 9^{\frac{\ln (x^{6})}{\ln (531441)}}$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$ est l’inverse de $f (x) = 9^{6 (x + 2)}$ .

$f^{- 1} (x) = - 2 + \frac{\ln (x)}{6 \ln (9)}$