Algèbre Exemples

$2^{x} + 2^{5 - x} = 12$

Étape 1

Réécrivez $2^{5 - x}$ comme $2^{5} \cdot 2^{- x}$ .

$2^{x} + 2^{5} \cdot 2^{- x} = 12$

Étape 2

Réécrivez $2^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$2^{x} + 2^{5} \cdot {(2^{x})}^{- 1} = 12$

Étape 3

Remplacez $2^{x}$ par $u$ .

$u + 2^{5} \cdot u^{- 1} = 12$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$u + 32 \cdot u^{- 1} = 12$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 32 \cdot \frac{1}{u} = 12$

Étape 4.3

Associez $32$ et $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{32}{u} = 12$

Étape 5

Résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1$

Étape 5.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 5.2

Multiplier chaque terme dans $u + \frac{32}{u} = 12$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.2.1

Multipliez chaque terme dans $u + \frac{32}{u} = 12$ par $u$ .

$u \cdot u + \frac{32}{u} u = 12 u$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$u^{2} + \frac{32}{u} u = 12 u$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 5.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{2} + \frac{32}{u} u = 12 u$

Étape 5.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{2} + 32 = 12 u$

Étape 5.3

Résolvez l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $12 u$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} + 32 - 12 u = 0$

Étape 5.3.2

Factorisez $u^{2} + 32 - 12 u$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $32$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 8, - 4$

Étape 5.3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 8) (u - 4) = 0$

Étape 5.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 4 = 0$

Étape 5.3.4

Définissez $u - 8$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.3.4.1

Définissez $u - 8$ égal à $0$ .

$u - 8 = 0$

Étape 5.3.4.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 8$

Étape 5.3.5

Définissez $u - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.3.5.1

Définissez $u - 4$ égal à $0$ .

$u - 4 = 0$

Étape 5.3.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 4$

Étape 5.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 8) (u - 4) = 0$ vraie.

$u = 8, 4$

Étape 6

Remplacez $u$ par $8$ dans $u = 2^{x}$ .

$8 = 2^{x}$

Étape 7

Résolvez $8 = 2^{x}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $2^{x} = 8$ .

$2^{x} = 8$

Étape 7.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$2^{x} = 2^{3}$

Étape 7.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 3$

Étape 8

Remplacez $u$ par $4$ dans $u = 2^{x}$ .

$4 = 2^{x}$

Étape 9

Résolvez $4 = 2^{x}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $2^{x} = 4$ .

$2^{x} = 4$

Étape 9.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$2^{x} = 2^{2}$

Étape 9.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 2$

Étape 10

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = 3, 2$