Algèbre Exemples

$| x - \frac{1}{2} | < 5$

Étape 1

Écrivez $| x - \frac{1}{2} | < 5$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x - \frac{1}{2} \geq 0$

Étape 1.2

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq \frac{1}{2}$

Étape 1.3

Dans la partie où $x - \frac{1}{2}$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x - \frac{1}{2} < 5$

Étape 1.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x - \frac{1}{2} < 0$

Étape 1.5

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x < \frac{1}{2}$

Étape 1.6

Dans la partie où $x - \frac{1}{2}$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (x - \frac{1}{2}) < 5$

Étape 1.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x - \frac{1}{2} < 5 & x \geq \frac{1}{2} \\ - (x - \frac{1}{2}) < 5 & x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Étape 1.8

Simplifiez $- (x - \frac{1}{2}) < 5$ .

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Étape 1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} x - \frac{1}{2} < 5 & x \geq \frac{1}{2} \\ - x - - \frac{1}{2} < 5 & x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Étape 1.8.2

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.8.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${\begin{cases} x - \frac{1}{2} < 5 & x \geq \frac{1}{2} \\ - x + 1 (\frac{1}{2}) < 5 & x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Étape 1.8.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

${\begin{cases} x - \frac{1}{2} < 5 & x \geq \frac{1}{2} \\ - x + \frac{1}{2} < 5 & x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $x - \frac{1}{2} < 5$ quand $x \geq \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 2.1.1

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x < 5 + \frac{1}{2}$

Étape 2.1.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x < 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.1.3

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$x < \frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x < \frac{5 \cdot 2 + 1}{2}$

Étape 2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.5.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$x < \frac{10 + 1}{2}$

Étape 2.1.5.2

Additionnez $10$ et $1$ .

$x < \frac{11}{2}$

Étape 2.2

Déterminez l’intersection de $x < \frac{11}{2}$ et $x \geq \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \leq x < \frac{11}{2}$

Étape 3

Résolvez $- x + \frac{1}{2} < 5$ quand $x < \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.1

Résolvez $- x + \frac{1}{2} < 5$ pour $x$ .

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Étape 3.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 3.1.1.1

Soustrayez $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x < 5 - \frac{1}{2}$

Étape 3.1.1.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- x < 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 3.1.1.3

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$- x < \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 3.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- x < \frac{5 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 3.1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1.5.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$- x < \frac{10 - 1}{2}$

Étape 3.1.1.5.2

Soustrayez $1$ de $10$ .

$- x < \frac{9}{2}$

Étape 3.1.2

Divisez chaque terme dans $- x < \frac{9}{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- x < \frac{9}{2}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\frac{9}{2}}{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} > \frac{\frac{9}{2}}{- 1}$

Étape 3.1.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{\frac{9}{2}}{- 1}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.2.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{9}{2}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \frac{9}{2}$

Étape 3.1.2.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{9}{2}$ comme $- \frac{9}{2}$ .

$x > - \frac{9}{2}$

Étape 3.2

Déterminez l’intersection de $x > - \frac{9}{2}$ et $x < \frac{1}{2}$ .

$- \frac{9}{2} < x < \frac{1}{2}$

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

$- \frac{9}{2} < x < \frac{11}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- \frac{9}{2} < x < \frac{11}{2}$

Notation d’intervalle :

$(- \frac{9}{2}, \frac{11}{2})$

Étape 6