Algèbre Exemples

$x^{4} - 11 x^{2} = 80$

Étape 1

Soustrayez $80$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} - 11 x^{2} - 80 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} - 80 = 0$

Étape 2.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$u^{2} - 11 u - 80 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $u^{2} - 11 u - 80$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 80$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 16, 5$

Étape 2.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 16) (u + 5) = 0$

Étape 2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(x^{2} - 16) (x^{2} + 5) = 0$

Étape 2.5

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 5) = 0$

Étape 2.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} + 5) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

Étape 4

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 6

Définissez $x^{2} + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x^{2} + 5$ égal à $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x^{2} + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 5$

Étape 6.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Étape 6.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Étape 6.2.3.1

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Étape 6.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (5)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Étape 6.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Étape 6.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{5}$

Étape 6.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{5}$

Étape 6.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 4) (x - 4) (x^{2} + 5) = 0$ vraie.

$x = - 4, 4, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$